soluciones para $x^n = 1$

Question

Se supone que debo resolver esto en términos de $n$ un número natural.

La verdad es que me estoy liando con esto y no sé muy bien por qué. La única forma de que esto tenga solución es que $n = 0$ específicamente el álgebra que escribí para demostrar esto es

$ \begin{gather*} x^n = 1\\ \log_x(x^n) = \log_x(1)\\ n\log_x(x) = 0\\ n = 0 \end{gather*} $

Entonces, ¿significa esto que hay infinitas soluciones o sólo una solución única? No estoy seguro de cómo cambiaría esto usando $x$ como un número complejo.

Answer 1

Su pregunta es un poco confusa. Usted dice que está resolviendo esto "en términos de $n$ un número natural. Lo que sigue no le da todos los detalles, tendrá que averiguar lo que la pregunta está pidiendo realmente antes de escribir su solución.

La primera pregunta es: ¿Cuál es su definición de número natural? O dicho de otro modo, ¿es $0$ un número natural. Supongamos que lo es.

La segunda pregunta es: ¿Es $x$ una constante y estás resolviendo para $n$ o es $n$ una constante y estás resolviendo para $x$ ?

Caso 1a: $x$ es una constante positiva no igual a $1$ y usted está resolviendo para $n$ . En este caso, la única solución es $n=0$ . Para todos los demás $n$ , $x^n \neq 1$ .

Caso 1b: $x =1$ y usted está resolviendo para $n$ . Aquí cualquier $n$ funcionará.

Caso 1c: $x$ es una constante negativa y estás resolviendo para $n$ . En este caso tiene $x = -y$ para algún positivo $y$ . Así que $x^n = (-1)^ny^n$ . Para que esto sea $1$ necesitas $(-1)^n = 1$ (de lo contrario todo es negativo porque $y^n$ es siempre positivo). Esto se cumple exactamente para los números pares (incluyendo $0$ ). Entonces necesita $y^n = 1$ . Si $y =1$ entonces esto es cierto para todos $n$ y su conjunto solución es el conjunto de todos los pares $n$ . Si $y\neq 1$ entonces $n=0$ es la única solución.

Caso 2a: $n$ es una constante (número natural mayor que $0$ ) y se resuelve para $x$ . Supongamos que buscamos soluciones en los números complejos. En este caso, el conjunto de soluciones se conoce como $n$ raíces de la unidad. Si $$ x_0 = e^{2\pi i/n} $$ El so $n$ soluciones son $$ x_0, x_0^2, \dots, x_0^{n}. $$ Si sólo estás resolviendo dentro de los números reales, entonces sólo obtienes aquellos (de la lista) que son reales. Esto será $-1$ y $1$ . Sólo se obtiene $-1$ cuando $n$ es par.

Caso 2b: $n=0$ y usted está resolviendo para $x$ . En este caso el conjunto solución son todos los números reales (o complejos) excepto $0$ . Aunque algunos no estarán de acuerdo conmigo en esto, $0^0$ no suele definirse. (Pregúntele a su profesor qué convención utiliza en clase).

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Obsérvese aquí el caso en el que se está resolviendo para $n$ y $x\neq 1$ es una constante positiva. En este caso tenemos que $n=0$ . Y aquí su solución es realmente correcta ¡! (dentro de los números reales.)

Answer 2

Vale, ya me he dado cuenta de dónde me estaba colgando. Estaba pensando $x$ sería cualquier número y que $n$ significaba infinito (¡tengo que dejar de hacer eso!?)

Así que mi proceso de pensamiento fue como "Oh, si $n = 5$ entonces tengo 5 soluciones, pero si $n = \infty$ entonces tengo infinitas soluciones, lo que significa que hay infinitas soluciones para $x^n = 1$ esto fue super defectuoso :( Honestamente, parece que la pregunta es un poco salvaje.

Así que, para cualquier niño que pueda tropezar con esta pregunta con la misma ????? Yo tenía en mi cara - $n$ es sólo un número. Consideremos el fácil hecho de que cuando $x \in \mathbb{R}, x^n = 1$ tiene una solución cuando $n$ es impar, y 2 soluciones cuando $n$ es incluso (¡piensa en esto!)

Si añadimos los números complejos, nos encontramos con raíces de la unidad, lo que nos dice: .... ¿qué? ;) Echa un vistazo a esos patrones también. si elijo $n = 5$ ¿cuántas soluciones hay para $x^5 = 1$ con $x \in \mathbb{C}$ ?

Todo el mundo dio muy buenas pistas, creo que no supe realmente lo que necesitaba saber hasta que lo supe.

Siéntete bien sabiendo que (con suerte) no te ha llevado dos días de idas y venidas con un matemático resolverlo.

Answer 3

\begin{gather*} x^n = 1\\ \log_x(x^n) = \log_x(1)\\ n\log_x(x) = 0\\ n = 0 \end{gather*}

Línea 1: Bien. Las soluciones son $e^{\frac{2\pi in}{k}}$ , $k=1,2,\dots,n$

Línea 2: Sólo puede tomar la base $x$ si $\mid x\mid\neq 1$ .(Por qué*)

Línea 3: Lo mismo, sólo puede tomar la base $x$ si $\mid x\mid\neq 1$ .

Línea 4: No hay problema entonces. (Por qué**)

(*) (sólo se muestra en caso de $x,y$ ): Obsérvese que $\log_x y=\dfrac{\ln y}{\ln x}$ diverge hacia $\infty$ si $x=1$ desde $\ln 1=0$ e indefinido cuando $x=y=1$

(**) Obsérvese que es regla básica de los índices que $x^n=1\Rightarrow n=0$ si $\mid x\mid\neq 1$ ya que $x=re^{i\theta}$ entonces $x^n=r^ne^{in\theta}=1\Rightarrow r^n=1$ (ya que $e^{in\theta}=1$ ya que la parte imaginaria es $0$ y $r\neq 0$ ). Entonces $n=0$ ya que $r\neq 1$ .

Por ejemplo $2^n=1\Rightarrow n=0$ .