Descomposición de $GL(n,\Bbb C)$ en positivo-definito-hermitiano y unitario.

Question

Se sabe que toda matriz $A\in GL(n,\Bbb C)$ puede escribirse unívocamente como $A=PU$ para una matriz hermitiana definida positiva $P$ y una matriz unitaria $U\in U(n)$ .

En particular, si $A_1=P_1U_1$ y $A_2=P_2U_2$ son tales descomposiciones, deberíamos encontrar $P$ y $U$ tal que $A_1A_2=PU$ .

Pregunta: ¿Existe una expresión para $P$ y $U$ en términos de $P_1,P_2,U_1,U_2$ ?

Probé varias formas de combinar el producto, por ejemplo, $$A_1A_2=(P_1U_1P_1^{-1})(P_1P_2U_2),$$ pero ninguno parece dar una descomposición en un hermitiano positivo-definido y un unitario.

Answer 1

Lo hay, aunque quizá sea en un sentido algo trivial.

Para cualquier $A$ El $A = PU$ la descomposición satisface $$ P = (AA^*)^{1/2}, \qquad U = (AA^*)^{-1/2}A $$ Por lo tanto, encontraríamos que si $A = A_1A_2$ entonces $$ P = ((A_1A_2)(A_1A_2)^*)^{1/2} = (P_1U_1P_2U_1^*P_1)^{1/2}\\ U = ((A_1A_2)(A_1A_2)^*)^{-1/2}(A_1A_2) = (P_1U_1P_2U_1^*P_1)^{-1/2}P_1U_1P_2U_2 $$ En general, no creo que podamos simplificar más la expresión. En particular, no podemos evitar calcular una raíz cuadrada definida positiva.