Interpretación de los resultados de la regresión lineal simple

Question

He realizado una regresión lineal simple del logaritmo natural de 2 variables para determinar si están correlacionadas. Mi salida es la siguiente:

R^2 = 0.0893

slope = 0.851

p < 0.001

Estoy confundido. Mirando el $R^2$ valor, diría que las dos variables son no correlacionado, ya que está tan cerca de $0$ . Sin embargo, la pendiente de la línea de regresión es casi $1$ (a pesar de parecer casi horizontal en el gráfico), y el valor p indica que la regresión es altamente significativa.

¿Significa esto que las dos variables son altamente correlacionados? En caso afirmativo, ¿qué $R^2$ ¿valor indicativo?

Debo añadir que el estadístico Durbin-Watson se probó en mi programa informático y no rechazó la hipótesis nula (fue igual a $1.357$ ). Pensé que esto probaba la independencia entre los $2$ variables. En este caso, yo esperaría que las variables fueran dependientes, ya que son $2$ medidas de un ave individual. Estoy haciendo esta regresión como parte de un método publicado para determinar la condición corporal de un individuo, así que asumí que usar una regresión de esta manera tenía sentido. Sin embargo, teniendo en cuenta estos resultados, creo que tal vez para estas aves, este método no es adecuado. ¿Parece una conclusión razonable?

Answer 1

Me gustan las respuestas ya dadas, pero permítanme complementarlas con un enfoque diferente (y más irónico).

Supongamos que recogemos un montón de observaciones de 1.000 personas al azar para averiguar si los puñetazos en la cara se asocian a dolores de cabeza:

$$Headaches = \beta_0 + \beta_1 Punch\_in\_the\_face + \varepsilon $$

$\varepsilon$ contiene todas las variables omitidas que producen dolores de cabeza en la población general: el estrés, lo contaminada que está tu ciudad, la falta de sueño, el consumo de café, etc.

Para esta regresión, el $\beta_1$ puede ser muy significativo y muy grande, pero el $R^2$ será baja. ¿Por qué? Para la inmensa mayoría de la población, los dolores de cabeza no se explicarán mucho por los puñetazos en la cara. En otras palabras, la mayor parte de la variación en los datos (es decir, si la gente tiene pocos o muchos dolores de cabeza) quedará sin explicar si sólo se incluyen los golpes en la cara, pero los golpes en la cara son MUY importantes para los dolores de cabeza.

Gráficamente, probablemente parezca una pendiente pronunciada, pero con una variación muy grande alrededor de esta pendiente.