Esta es una pregunta para principiantes, pero ¿cómo se interpreta un resultado exp(B) de 6,012 en un modelo de regresión logística multinomial?
1) ¿es 6,012-1,0 = 5,012 = 5012% de aumento del riesgo?
o
2) ¿6,012/(1+6,012) = 0,857 = 85,7% de aumento del riesgo?
En caso de que ambas alternativas sean incorrectas, ¿podría alguien indicar la forma correcta?
He buscado muchos recursos en Internet y llego a estas dos alternativas, y no estoy del todo seguro de cuál es la correcta.
Tardaremos en llegar, pero en resumen, un cambio de una unidad en la variable correspondiente a B multiplicará el riesgo relativo del resultado (en comparación con el resultado base) por 6,012.
Se podría expresar como un aumento del "5012%" en relativa riesgo, pero es una forma confusa y potencialmente engañosa de hacerlo, porque sugiere que deberíamos pensar en los cambios de forma aditiva, cuando en realidad el modelo logístico multinomial nos anima encarecidamente a pensar de forma multiplicativa. El modificador "relativo" es esencial, porque un cambio en una variable modifica simultáneamente las probabilidades previstas de todos resultados, no sólo el que nos ocupa, por lo que tenemos que comparar probabilidades (mediante ratios, no diferencias).
El resto de esta respuesta desarrolla la terminología y la intuición necesarias para interpretar correctamente estas afirmaciones.
Empecemos con la regresión logística ordinaria antes de pasar al caso multinomial.
Para la variable dependiente (binaria) $Y$ y las variables independientes $X_i$ el modelo es
$$\Pr[Y=1] = \frac{\exp(\beta_1 X_1 + \cdots + \beta_m X_m)}{1+\exp(\beta_1 X_1 + \cdots + \beta_m X_m)};$$
equivalentemente, suponiendo $0 \ne \Pr[Y=1] \ne 1$ ,
$$\log(\rho(X_1, \cdots, X_m)) = \log\frac{\Pr[Y=1]}{\Pr[Y=0]} = \beta_1 X_1 + \cdots + \beta_m X_m.$$
(Esto simplemente define $\rho$ que es el probabilidades en función del $X_i$ .)
Sin pérdida de generalidad, el índice $X_i$ para que $X_m$ es la variable y $\beta_m$ es la "B" de la pregunta (de modo que $\exp(\beta_m)=6.012$ ). Fijando los valores de $X_i, 1\le i\lt m$ y variando $X_m$ por una pequeña cantidad $\delta$ produce
$$\log(\rho(\cdots, X_m+\delta)) - \log(\rho(\cdots, X_m)) = \beta_m \delta.$$
Así, $\beta_m$ es el cambio marginal en las probabilidades logarítmicas con respecto a $X_m$ .
Para recuperar $\exp(\beta_m)$ evidentemente debemos establecer $\delta=1$ y exponenciamos el lado izquierdo:
$$\eqalign{ \exp(\beta_m) &= \exp(\beta_m \times 1) \\ & = \exp( \log(\rho(\cdots, X_m+1)) - \log(\rho(\cdots, X_m))) \\ & = \frac{\rho(\cdots, X_m+1)}{\rho(\cdots, X_m)}. }$$
Esto muestra $\exp(\beta_m)$ como el cociente de probabilidades para un aumento de una unidad en $X_m$ . Para desarrollar una intuición de lo que esto podría significar, tabule algunos valores para una serie de probabilidades iniciales, redondeando mucho para que destaquen los patrones:
Starting odds Ending odds Starting Pr[Y=1] Ending Pr[Y=1]
0.0001 0.0006 0.0001 0.0006
0.001 0.006 0.001 0.006
0.01 0.06 0.01 0.057
0.1 0.6 0.091 0.38
1. 6. 0.5 0.9
10. 60. 0.91 1.
100. 600. 0.99 1.Para realmente pequeño probabilidades, que corresponden a realmente pequeño probabilidades, el efecto de un aumento de una unidad en $X_m$ es multiplicar las probabilidades en aproximadamente 6,012. El factor multiplicador disminuye a medida que aumentan las probabilidades (y la probabilidad), y prácticamente desaparece cuando las probabilidades superan 10 (la probabilidad supera 0,9).
Como aditivo cambio, no hay mucha diferencia entre una probabilidad de 0,0001 y 0,0006 (sólo es un 0,05%), ni tampoco entre 0,99 y 1. (sólo un 1%). El mayor efecto aditivo se produce cuando las probabilidades son iguales a $1/\sqrt{6.012} \sim 0.408$ donde la probabilidad pasa del 29% al 71%: un cambio del +42%.
Vemos, pues, que si expresamos el "riesgo" como una odds ratio, $\beta_m$ = "B" tiene una interpretación sencilla: el cociente de probabilidades es igual a $\beta_m$ por un aumento unitario de $X_m$ --Pero cuando expresamos el riesgo de otra forma, como un cambio en las probabilidades, la interpretación requiere que se especifique la probabilidad inicial.
(Esto se ha añadido como edición posterior).
Una vez reconocido el valor de utilizar las probabilidades logarítmicas para expresar las probabilidades, pasemos al caso multinomial. Ahora la variable dependiente $Y$ puede ser igual a $k \ge 2$ categorías, indexadas por $i=1, 2, \ldots, k$ . En relativa probabilidad de que pertenezca a la categoría $i$ es
$$\Pr[Y_i] \sim \exp\left(\beta_1^{(i)} X_1 + \cdots + \beta_m^{(i)} X_m\right)$$
con parámetros $\beta_j^{(i)}$ por determinar y escribir $Y_i$ para $\Pr[Y=\text{category }i]$ . Para abreviar, escribamos la expresión de la derecha como $p_i(X,\beta)$ o, cuando $X$ y $\beta$ se desprenden claramente del contexto, basta con $p_i$ . Normalizando para que todas estas probabilidades relativas sumen a la unidad se obtiene
$$\Pr[Y_i] =\frac{p_i(X,\beta)}{p_1(X,\beta) + \cdots + p_m(X,\beta)}.$$
(Hay una ambigüedad en los parámetros: son demasiados. Convencionalmente, se elige una categoría "base" para la comparación y se obliga a que todos sus coeficientes sean cero. Sin embargo, aunque esto es necesario para obtener estimaciones únicas de las betas, es no necesarios para interpretar los coeficientes. Para mantener la simetría -es decir, para evitar distinciones artificiales entre las categorías- no impongamos ninguna restricción de este tipo a menos que sea necesario).
Una forma de interpretar este modelo es preguntar por la tasa marginal de cambio de las probabilidades logarítmicas para cualquier categoría (digamos la categoría $i$ ) con respecto a cualquiera de las variables independientes (digamos $X_j$ ). Es decir, cuando cambiamos $X_j$ un poco, eso induce un cambio en las probabilidades logarítmicas de $Y_i$ . Nos interesa la constante de proporcionalidad que relaciona estos dos cambios. La regla de la cadena del cálculo, junto con un poco de álgebra, nos dice que esta tasa de cambio es
$$\frac{\partial\ \text{log odds}(Y_i)}{\partial\ X_j} = \beta_j^{(i)} - \frac{\beta_j^{(1)}p_1 + \cdots + \beta_j^{(i-1)}p_{i-1} + \beta_j^{(i+1)}p_{i+1} +\cdots + \beta_j^{(k)}p_k}{p_1 + \cdots + p_{i-1} + p_{i+1} + \cdots + p_k}.$$
Esto tiene una interpretación relativamente sencilla, ya que el coeficiente $\beta_j^{(i)}$ de $X_j$ en la fórmula de la probabilidad de que $Y$ está en categoría $i$ menos un "ajuste". El ajuste es la media ponderada por la probabilidad de los coeficientes de $X_j$ en todas las demás categorías . Las ponderaciones se calculan utilizando probabilidades asociadas a los valores actuales de las variables independientes $X$ . Así pues, el cambio marginal en los registros no es necesariamente constante: depende de las probabilidades de todas las demás categorías, no sólo de la probabilidad de la categoría en cuestión (categoría $i$ ).
Cuando sólo hay $k=2$ categorías, esto debería reducirse a una regresión logística ordinaria. De hecho, la ponderación probabilística no hace nada y (eligiendo $i=2$ ) da simplemente la diferencia $\beta_j^{(2)} - \beta_j^{(1)}$ . Categoría de alquiler $i$ como caso base se reduce a $\beta_j^{(2)}$ porque forzamos $\beta_j^{(1)}=0$ . Así pues, la nueva interpretación generaliza la anterior.
Interpretar $\beta_j^{(i)}$ directamente, entonces, lo aislaremos en un lado de la fórmula precedente, lo que conduce a:
El coeficiente de $X_j$ para la categoría $i$ es igual al cambio marginal en las probabilidades logarítmicas de la categoría $i$ con respecto a la variable $X_j$ , y la media ponderada por probabilidad de los coeficientes de todos los demás $X_{j'}$ para la categoría $i$ .
Otra interpretación, aunque un poco menos directa, es la que ofrece (temporalmente) el establecimiento de la categoría $i$ como caso base, con lo que $\beta_j^{(i)}=0$ para todas las variables independientes $X_j$ :
La tasa marginal de cambio en las probabilidades logarítmicas del caso base para la variable $X_j$ es el negativo de la media ponderada por probabilidad de sus coeficientes para todos los demás casos.
Para utilizar realmente estas interpretaciones suele ser necesario extraer las betas y las probabilidades de la salida del software y realizar los cálculos como se muestra.
Por último, para los coeficientes exponenciados, obsérvese que el cociente de probabilidades entre dos resultados (a veces denominado "riesgo relativo" de $i$ en comparación con $i'$ ) es
$$\frac{Y_{i}}{Y_{i'}} = \frac{p_{i}(X,\beta)}{p_{i'}(X,\beta)}.$$
Aumentemos $X_j$ en una unidad a $X_j+1$ . Esto multiplica $p_{i}$ por $\exp(\beta_j^{(i)})$ y $p_{i'}$ por $\exp(\beta_j^{(i')})$ por lo que el riesgo relativo se multiplica por $\exp(\beta_j^{(i)}) / \exp(\beta_j^{(i')})$ = $\exp(\beta_j^{(i)}-\beta_j^{(i')})$ . Tomando categoría $i'$ como caso base se reduce a $\exp(\beta_j^{(i)})$ , lo que nos lleva a decir,
El coeficiente exponenciado $\exp(\beta_j^{(i)})$ es la cantidad por la que el riesgo relativo $\Pr[Y = \text{category }i]/\Pr[Y = \text{base category}]$ se multiplica cuando la variable $X_j$ se incrementa en una unidad.
Trate de considerar este poco de explicación, además de lo que @whuber ya ha escrito tan bien. Si exp(B) = 6, entonces la razón de probabilidades asociada a un incremento de 1 en el predictor en cuestión es 6. En un contexto multinomial, por "razón de probabilidades" entendemos la razón de estas dos cantidades: a) las probabilidades (no probabilidad, sino más bien p/[1-p]) de que un caso tome el valor de la variable dependiente indicado en la tabla de salida en cuestión, y b) las probabilidades de que un caso tome el valor de referencia de la variable dependiente.
Parece que buscas cuantificar la probabilidad -más que las probabilidades- de que un caso esté en una u otra categoría. Para ello necesitaría saber con qué probabilidades "empezó" el caso, es decir, antes de que asumiéramos el aumento de 1 en el predictor en cuestión. Los cocientes de probabilidades variarán de un caso a otro, mientras que el cociente de probabilidades relacionado con un aumento de 1 en el predictor permanece invariable.
Yo también buscaba la misma respuesta, pero las anteriores no me satisfacían. Parecía demasiado complejo para lo que realmente es. Así que voy a dar mi interpretación, por favor me corrija si me equivoco.
No obstante, lea hasta el final, ya que es importante.
En primer lugar, los valores B y Exp(B) son los que buscas. Si B es negativo, Exp(B) será inferior a uno, lo que significa que las probabilidades disminuyen. Si es mayor, Exp(B) será mayor que 1, lo que significa que las probabilidades aumentan. Dado que se está multiplicando por el factor Exp(B).
Desgraciadamente, aún no ha llegado ahí. Porque en una regresión multinominal su variable dependiente tiene múltiples categorías, llamemos a estas categorías D1, D2 y D3. De las cuales la última es la categoría de referencia. Y supongamos que tu primera variable independiente es el sexo (hombres frente a mujeres).
Digamos que el resultado para D1 -> varones es exp(B)= 1,21, esto significa que para los varones las probabilidades aumentan en un factor 1,21 por estar en la categoría D1 en lugar de D3 (categoría de referencia) en comparación con las mujeres (categoría de referencia).
Por tanto, siempre se está comparando con la categoría de referencia de las variables dependientes, pero también con las independientes. Esto no es cierto si tiene una variable covariable. En ese caso, significaría que un aumento de una unidad en X aumenta las probabilidades en un factor de 1,21 de estar en la categoría D1 en lugar de D3.
Para los que tienen una variable dependiente ordinal:
Si tiene una variable dependiente ordinal y no hizo una regresión ordinal debido al supuesto de probabilidades proporcionales, por ejemplo. Tenga en cuenta que la categoría más alta es la categoría de referencia. Los resultados anteriores son válidos. Pero tenga en cuenta que un aumento de las probabilidades significa de hecho un aumento de las probabilidades de estar en la categoría inferior en lugar de en la superior. Pero eso es sólo si tiene una variable dependiente ordinal.
Si quieres saber el aumento en porcentaje, coge un número ficticio de probabilidades, digamos 100 y multiplícalo por 1,21, que es 121? Comparado con 100, ¿cuánto ha cambiado en porcentaje?
Digamos que exp(b) en un mlogit es 1,04. Si multiplicamos un número por 1,04, entonces aumenta un 4%. Ese es el riesgo relativo de estar en la categoría a en lugar de en la b. Sospecho que parte de la confusión aquí puede tener que ver con por 4% (significado multiplicativo) y por 4 puntos porcentuales (significado aditivo). La interpretación en % es correcta si hablamos de un cambio porcentual, no de un cambio en puntos porcentuales. (Esto último no tendría sentido de todos modos, ya que los riesgos relativos no se expresan en términos de porcentajes).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
