Peskin ' s libro en la página 334 prueba $Z_1=Z_2$ a todas las órdenes en la teoría de la perturbación de QED

Question

Peskin en su QFT página 334 argumentó que $Z_1=Z_2$ para todos los pedidos en QED teoría de la perturbación, pero yo no podía entender su argumento:

... Con una generalización del argumento dado en la sección 7.4 para el distrito de identidad), se puede mostrar que el diagrama de identidad (7.68) tiene para los diagramas que incluyen counterterm vértices en los nudos.

Vamos a suponer que esto es concedido cierto, pero me perdí en su siguiente argumento:

Por lo tanto, si el counterterms $\delta_1$ $\delta_2$ están determinados a fin de $\alpha^n$, el unrenormalized vértice del diagrama de a $q^2=0$ es igual a la derivada de la unrenormalized auto-diagrama de energía en la cáscara en orden de $\alpha^{n+1}$. Para satisfacer la renormalization condiciones (10.40), debemos entonces establecer el counterterms $\delta_1$ $\delta_2$ igual a fin de $\alpha^{n+1}$. Este argumento recursivo da otra prueba de que $Z_1=Z_2$ para todos los pedidos en QED teoría de la perturbación.

¿Qué quiere unrenormalized vértice del diagrama?
Puede alguien por favor explicar las conexiones en su lógica?
Gracias!

Answer 1

unrenormalized vértice del diagrama y unrenormalized auto-diagrama de energía son como a continuación:

Ahora, permítanme resumir lo que Peskin y Schroeder, tratando de expresar. Feynman propagadores de electrones $$ S_F=\frac{i}{\requieren{cancel}\cancelar p-m} $$ final de fotones $$ D_F=\frac{-ig_{\mu\nu}}{p^2} $$ y el predicador debe mantener $$ S_F(p)S_F^{-1}=\mathbb{1} $$ simplemente diferencian $$ \frac{dS_F(p)}{dp^{\mu}}S_F^{-1}=-S_F\frac{dS_F^{-1}}{dp^{\mu}} $$ $$ \frac{dS_F(p)}{dp^{\mu}}=-S_F(p)\frac{dS_F^{-1}}{dp^{\mu}}S_F(p) $$ Desde $S_F^{-1}$ debe poseer $S_F(p)S_F^{-1}=\mathbb{1}$ $$ S_F^{-1}(p)=-i(\cancelar p-m) $$ y $$ \frac{dS_F^{-1}(p)}{dp^{\mu}}=-i\gamma_{\mu} $$ $$ \Longrightarrow \frac{dS_F(p)}{dp^{\mu}}=iS_F(p)\gamma_{\mu}S_F(p) $$ Que, definitivamente, este aspecto para $q^2=0$

Esto es como si derivado del propagador es simplemente igual adición de fotón! Permítanme escribir unrenormalized de electrones auto-diagrama de energía que el anterior.(Sólo inversa de fotones y electrones de los impulsos) $$ \Sigma_2(p)=-ie^2\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma^{\mu}S_F(p-k)\gamma_{\mu}D_F(k) $$ Si derivado de este a suponer para obtener el vértice del diagrama. Recuerde que para agregar uno más de los fotones!Así que se puede escribir de la siguiente manera $$ \Gamma_{2\nu}(p,p)=\frac{d\Sigma_2}{dp^{\nu}}=e^2\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma^{\mu}S_F(p-k)\gamma_{\nu}S_F(p-k)\gamma_{\mu}D_F(k) $$ donde $$ S_F(p-k)\gamma_{\nu}S_F(p-k)=i\frac{\partial S_F}{\partial p^{\nu}} $$ como hemos calculado anteriormente. Como aumentar el orden de la derivada, se puede agregar más hasta propagador. Supongamos $\Lambda_{\mu}$ todos bucle correcciones de vértice diagrama. Podemos escribir $$ \frac{d\Sigma(p)}{dp^{\mu}}=\Lambda_{\mu}(p,p)=\Gamma_{\mu}(p,p)-\gamma_{\mu} $$ Así que las condiciones en 10.40 es mantener.

Answer 2

El unrenormalized vértice del diagrama es la dimensionalmente regularización de la integral de Feynman correspondiente para el siguiente diagrama de Feynman:

Se llama 'unrenormalized' porque no es acompañado por un diagrama en el cual el impulso de bucle es reemplazado por un counterterm vértices generados por la QED de Lagrange. La adición de un segundo diagrama de Feynman con el counterterm vértice en lugar de un impulso bucle que precisamente cancelar la divergencia del diagrama que se muestra.