Área de revolución sólida mediante integración.

Question

Cuando calculamos el volumen de un sólido generado al girar una curva alrededor de $x$ -eje, lo dividimos en discos.

Entonces, obtenemos $dv = \pi r^2 dx$ . donde $r=y$ y luego integramos.

Está bien, pero cuando calculamos el área de la superficie exterior del sólido, ¿por qué no dejamos que $da=2 \pi r dx$ y luego integrar para obtener el área? ¿por qué es incorrecto? observe que $r=y$ .

¿Alguna idea intuitiva para abordar esta cuestión?

Answer 1

Para ilustrar intuitivamente por qué esto no funciona y no debería funcionar, pensemos en una función sobre el intervalo $[0,L]$ girado alrededor del eje x. Debe quedar claro que el área de la superficie de revolución debe depender de la longitud de la curva en ese intervalo.

Así que $y = c$ para una constante $c$ tiene una longitud L, y la superficie generada es el lado de un cilindro circular recto. Pero para $y = cx$ una línea inclinada, la superficie generada es un cono de altura $L$ .

También es fácil ver que el cono generado por $y = x$ tiene una superficie menor que, por ejemplo, la generada por $y = 10x$ que es mucho más ancho. Así que el longitud del arco de la curva que gira alrededor del eje.

Si aproximas la curva mediante segmentos de línea recta horizontal, no importa cuántos trozos utilices, la longitud total de todos los trozos seguirá siendo la longitud del intervalo, $L$ . Así que en ese método ingenuo, no estás considerando realmente la propiedad clave de la forma de la que depende el área de la superficie de revolución.