Suma de una serie $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}++-...$

Question

Necesito calcular la suma de las series: $T_{3n}=$ $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}++-...$ Sé que $T_{3n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}$ . Y dieron a entender que $u_n=S_n-I_n$ donde $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ y $I_n=\log(n)$ converge. ¿Alguien puede orientarme? He intentado escribir $T_{3n}$ en términos de $S_n$ pero sin éxito.

Answer 1

Pista: Suma dos series convergentes término a término:

$$ \begin{array}{cccccccccccc} &1&-&\dfrac12&+&\dfrac13&-&\dfrac14&+&\dfrac15&-&\dfrac16&+&\dfrac17&-&\dfrac18&+&\dfrac19&-&\dfrac1{10}&+&\cdots\\ \\ &0&+&\dfrac12&+&0&-&\dfrac14&+&0&+&\dfrac16&+&0&-&\dfrac18&+&0&+&\dfrac1{10}&+&\cdots\\ \\ \hline \\ =&1&+&0&+&\dfrac13&-&\dfrac12&+&\dfrac15&+&0&+&\dfrac17&-&\dfrac14&+&\dfrac19&+&0&+&\cdots \end{array} $$

Answer 2

Sea $H_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}$ Entonces, como es bien sabido $H_n-\ln n$ converge a $\gamma$

Ahora $$T_n=H_{4n-1}-\frac{1}{2}H_{2n-1}-\frac{1}{2}H_n$$ así

$$T_n-\ln (4n-1)+\frac{1}{2}\ln (2n-1)+\frac{1}{2}\ln n \to 0$$ y

$$T_n\to \frac{3}{2}\ln 2$$