He estado estudiando para mi examen de Teoría de la Probabilidad y he encontrado este problema: Calcular utilizando el teorema central del límite $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}\frac{1}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-x}dx.$$ Utilizando $$\Gamma(n)=(n-1)!$$ la expresión superior se convierte en $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}\frac{1}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-x}dx.$$ Sé que $$\int_{0}^{n}\frac{1}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-x}dx=\mathbb{P}(X\leq n )$$ donde $$X\sim\Gamma(n,1)$$ ¿Cómo proceder a partir de aquí? Le agradecería cualquier ayuda.
Respuesta
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$\frac{1}{\Gamma(n)}x^{n-1} e^{-x}$ es la densidad de a $\Gamma(n,1)$ que es la misma distribución que la suma de $n$ exponenciales estándar independientes. Así pues, tenemos $$ \int_0^n \frac{1}{\Gamma(n)}x^{n-1} e^{-x}dx = P\left(\sum_{i=1}^n X_i \le n\right) = P(\bar X_n\le 1)$$ donde $X_i$ son exponenciales estándar iid y $\bar X_n$ es la media muestral.
La relación con el CLT debería quedar clara a partir de ahí.
