Matrices reales con valores propios no reales

Question

Sé que esto abarca mucho, así que quizá alguien pueda redirigirme a un sitio web útil.

para a) No tengo ni idea de por dónde empezar con la prueba, ya que no entiendo por qué esto es cierto.

para b) tampoco tengo ni idea.

para c) A es una matriz real, por lo que si un valor propio es complejo, ¿los demás también lo son? (el conjugado del primero)?

Answer 1

Pista para a): ¿Qué significa para $z$ sea un vector propio? Significa que $Az=\lambda z$ . ¿Cuándo dirías que dos cantidades complejas son iguales? Igualas algunas partes. ¿Con qué?

Sugerencia para b) Supongamos que son linealmente dependientes y $y=kx$ para algunos $k$ . A continuación, utilice (a) y el hecho de que $b \neq 0$ .

Answer 2

Ya se han dado pistas para (a), (b), así que abordaré (c). Definitivamente hay matrices con valores propios reales y no reales: como ejemplo trivial, dejemos que $A$ tienen valores propios no reales, y ser $n \times n$ y considerar la matriz de bloques:

$$B = \begin{pmatrix} k& 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$$

donde $k$ es real. Esto añade un vector propio de la forma $(1,0,...,0)^T$ con valor propio real $k$ . Por otra parte, para todos los vectores propios $v$ de $A$ el vector $(0, v^T)^T$ es un vector propio de $B$ con el mismo valor propio. Sin embargo, tienes razón al señalar que si una matriz real tiene un valor propio no real, entonces el conjugado también es un valor propio. Esto se debe a que el polinomio característico de una matriz real tiene coeficientes reales, y los polinomios reales siempre tienen conjuntos de raíces simétricos bajo conjugación.

Answer 3

Se nos da que $A$ es un verdadero $n \times n$ matriz con un valor propio complejo $\lambda = a + bi$ , $b \ne 0$ y un vector (necesariamente) complejo $\vec z \in \Bbb C^n$ tal que

$A \vec z = \lambda \vec z. \tag{1}$

Escribir

$\vec z = \vec x + i\vec y, \tag{2}$

con $\vec x, \vec y \in \Bbb R^n$ e insertándolo en (1) se obtiene

$A(\vec x + i\vec y) = \lambda(\vec x + i\vec y) = (a + ib)(\vec x + i\vec y). \tag{3}$

(3) puede escribirse como

$A \vec x + iA \vec y = (a\vec x - b\vec y) + i(a \vec y + b \vec x), \tag{4}$

o, escribiendo las partes real e imaginaria por separado, encontramos

$A\vec x = a\vec x - b\vec y, \tag{5}$

$A\vec y = a\vec y + b\vec x. \tag{6}$

Hay que recordar que aunque $A$ es una matriz real, debe interpretarse que actúa sobre el espacio vectorial complejo $\Bbb C^n$ de lo contrario, la afirmación de que $A$ tiene un valor propio complejo no tiene sentido. Por lo tanto, consideramos $A$ como actuar sobre $\Bbb C^n$ como tal, es una $\Bbb C$ -es decir, un mapa lineal, $A(c \vec z) = cA \vec z$ para cualquier $\vec z \in \Bbb C^n$ y $c \in \Bbb C$ por lo que se justifica escribir $A(\vec x + i \vec y) =A\vec x + iA\vec y$ que se invocó tácitamente en el tránsito entre (3) y (4). En cualquier caso, lo anterior establece el punto (1).

Observamos que $b \ne 0$ implica $\vec x \ne 0 \ne \vec y$ ya que si $\vec x = 0$ entonces por (5), $b\vec y = 0$ y, por tanto, dado que $b \ne 0$ , $\vec y = 0$ . Del mismo modo, si $\vec y = 0$ (6) fuerzas $\vec x = 0$ esto muestra que ambos $\vec x$ , $\vec y$ son cero o ninguno de los dos; pero ambos no pueden ser cero ya que el vector propio $\vec z \ne 0$ Así pues $\vec x \ne 0 \ne \vec y$ .

En cuanto al punto (2), obsérvese que si $\vec x$ y $\vec y$ dependen linealmente de $\Bbb R$ (es decir, como elementos de $\Bbb R^n$ ), entonces debe existir $\alpha, \beta \in \Bbb R$ con

$\alpha \vec x + \beta \vec y = 0, \tag{7}$

o

$\vec y = -\dfrac{\alpha}{\beta} \vec x = k \vec x \tag{8}$

con $0 \ne k = -(\alpha/\beta) \in \Bbb R$ . Pero entonces, a partir de (3),

$(1 + ik)A \vec x = A(\vec x +i k \vec x) = A(\vec x + i \vec y) = (a + bi)(\vec x + i\vec y)$ $= (a + bi)(\vec x +i k\vec x) = (1 + ik)(a + bi)\vec x, \tag{9a}$

o, anulando $1 + ik$ ,

$A\vec x = (a + bi)\vec x. \tag{9b}$

Ahora el lado izquierdo de (9b) es real, ya que ambos $A$ y $\vec x$ son; pero el derecho sólo es real en el caso de que $b = 0$ por lo que la hipótesis $b \ne 0$ prohíbe (7) y, por tanto $\vec x$ , $\vec y$ son linealmente independientes, estableciendo el punto (2).

En cuanto a (3), supongamos que $\text{span}\{\vec x, \vec y \}$ contenía un vector propio real $\vec w$ entonces tendríamos

$\vec w = \alpha \vec x + \beta \vec y \tag{10}$

con $\alpha, \beta \in \Bbb R$ no ambos cero. Además $\vec w$ siendo un vector propio real satisface

$A\vec w = \mu \vec w \tag{11}$

con $\mu \in \Bbb R$ desde $A$ y $\vec w$ son reales. Utilizando (10) en (11) tenemos

$A(\alpha \vec x + \beta \vec y) = \mu (\alpha \vec x + \beta \vec y), \tag{12}$

o en virtud de (5)-(6),

$\alpha A \vec x + \beta A \vec y = \alpha(a \vec x - b \vec y) + \beta(a \vec y + b \vec x) = \mu \alpha \vec x + \mu \beta \vec y, \tag{13}$

y puesto que $\vec x$ , $\vec y$ son ambos no evanescentes y linealmente independientes podemos recoger e igualar sus coeficientes en (13):

$a \alpha + b \beta = \mu \alpha, \tag{14}$

$-b \alpha + a \beta = \mu \beta; \tag{15}$

vemos que estas dos ecuaciones son de hecho la ecuación propia para a $2 \times 2$ matriz:

$\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}, \tag{16}$

y recordando que $(\alpha, \beta)^T \ne 0$ vemos que $\mu$ debe ser un valor propio de

$C = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}; \tag{17}$

pero se ve fácilmente que los valores propios de $C$ son $a \pm bi$ ya que el polinomio característico de $C$ es $x^2 -2a x + (a^2 + b^2)$ ya que $b \ne 0$ , $\mu$ no puede ser real; hemos llegado a una contradicción de la que se deduce que $\text{span}\{\vec x, \vec y \}$ no contiene ningún vector propio real $\vec w$ así queda establecido el punto (3). QED.

Espero que esto ayude. Salud,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!