Transposición de matrices y escalares

Question

Tengo algunos problemas para entender la respuesta de mi libro a esta pregunta:

Sea $A$ sea una matriz cualquiera y $k$ sea un escalar. Demostrar que $(kA)^T=kA^T$

Los libros responden:
"Puesto que k es un escalar (a $1\times 1$ matriz) tenemos $k^T = k$
por lo tanto $(kA)^T=A^Tk^T=A^Tk=kA^T$ "

Ahora, entiendo la prueba pero no creo que sea válida, he aquí mis reservas:

1. ¿Cómo puede ver $k$ como un escalar y una matriz al mismo tiempo? La operación $kA$ ni siquiera debería ser válida si $k$ es una matriz si $A$ tiene más de 1 columna ¿verdad?

2. Y si no puede ver $k$ como matriz, entonces $k^T$ no está definido, ya que el autor sólo ha definido la transposición para matrices.

3. El autor sólo ha definido la multiplicación escalar para un escalar $k$ y una matriz $A$ como $kA$ y no $Ak$ . ¿No tiene que hacer esta definición antes de usar $A^Tk$ ?

Bueno, lo que más me confunde es (1.) y (2.),
(3.) es quizá sólo una formalidad, supongo.

Edita: Aquí vienen las definiciones de transposición de matrices y multiplicación escalar que proporciona el libro.

Transposición: "Definimos la transposición de una matriz como:
$A=(a_ij)$ implica $A^T = (a_ji)$ [El subíndice ij cambia a ji]"

La multiplicación escalar la define mostrando matrices que no sé cómo hacer en un ordenador, pero básicamente afirma que multiplicar una matriz $A$ con un escalar $k$ se escribe como $kA$ y corresponde a multiplicar cada entrada de $A$ por $k$ .

Answer 1

Estoy de acuerdo, esto es un poco un abuso de la notación; si definimos $k$ como $1\times 1$ entonces sí que nos encontramos con problemas si intentamos utilizar la definición habitual de multiplicación de matrices. Y de nuevo, a menos que definamos la multiplicación escalar con una matriz separadamente de la multiplicación matricial, no tenemos que la operación conmute en general (es decir, tendríamos $[k,\mathbf{A}]\neq 0$ en general).

Yo diría que una forma mejor de demostrar el resultado sería algo como lo siguiente:

$$(k\mathbf{A})^{T}_{ij}=(k\mathbf{A})_{ji}=k\mathbf{A}_{ji}$$

Así tenemos que:

$$(k\mathbf{A})^{T}=k\mathbf{A}^{T}$$

Según las necesidades.