¿Equivale a $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$?

Question

¿Equivale a $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$?

Es decir, $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ puede considerarse como: $\mathbb{Q}[\sqrt{2}][\sqrt{3}]$, como polinomios de $\sqrt{3}$ habiendo coeficientes de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$?, y el campo más pequeño que contiene $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ $\mathbb{Q}, \sqrt{2}\,\sqrt{3}$. ¿$\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ Es un campo que tenemos que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$?, pero ya que todos los términos en $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ se hacen con sumas y multiplicaciones de $\mathbb{Q},\sqrt{2},\sqrt{3}$, debemos tener que $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}] \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$?

¿Alguien puede confirmar que esto es correcto?

Pero entonces también tenemos:

¿$F[\alpha]=F(\alpha)$, siempre? y

$F[\alpha_1,\alpha_2]=F(\alpha_1,\alpha_2)$?

Answer 1

Sí y su razonamiento es más o menos correcta.

Dado un campo $F$, $F[\alpha] = F(\alpha)$ si y sólo si $F[\alpha]$ es un campo si y solamente si $\alpha$ es algebraico sobre $F$.

Tenga en cuenta que si $\alpha$ es trascendental, entonces $F[\alpha]$ es isomorfo al anillo Polinómico $F[x]$, que no es un campo.

Ahora si $F$ es un campo y $\alpha_1$y $\alpha_2$ son algebraicos sobre $F$, $$F[\alpha_1,\alpha_2]\cong F[\alpha_1][\alpha_2] \cong F(\alpha_1)[\alpha_2]\cong F(\alpha_1)(\alpha_2)\cong F(\alpha_1,\alpha_2),$% $ de \alpha_2$ since $F(\alpha_1) de $ is also algebraic over $.

Answer 2

Si $F$ es un campo y $\alpha$ es algebraico sobre $F$, entonces el $F[\alpha] = F(\alpha)$ siempre.

Explicación: $c_n \alpha^n + \cdots + c_0 = 0$ $-\frac{1}{c_0}\left(c_n \alpha^{n-1} + \cdots + c_1\right) \cdot \alpha = 1$, que $\alpha$ es invertible en $F[\alpha]$. (Si $c_0 = 0$ entonces factor de algún poder de $\alpha$ de la ecuación.) Lógica similar encuentra una inversa para cualquier expresión que una combinación lineal de $\alpha$ y sus poderes (es decir, el elemento general de $F[\alpha]$).

Pero si $\alpha$ es trascendental, entonces $F[\alpha] \cong F[t]$ no es un campo y es un subanillo estricta de $F(\alpha) \cong F(t)$.

Answer 3

Más generalmente, si $A$ es un dominio, que es un finito-dimensional de álgebra sobre un campo $F$, $A$ es un campo.

De hecho, tomar $a \in A$, $a\ne 0$, y considerar la posibilidad de $\phi: A \to A$$\phi(x)=ax$. A continuación, $\phi$ $F$- transformación lineal. Por otra parte, $\phi$ es inyectiva porque $A$ es un dominio. Desde $A$ es finito-dimensional de álgebra más $F$, $\phi$ inyectiva implica $\phi$ surjective, y por lo $1$ es en la imagen de $\phi$ $a$ tiene una inversa en $A$. Esta inversa se puede encontrar por expresar $\phi$ con respecto a una base de $A$ y la solución de un sistema lineal.

$\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ es claramente un dominio porque está contenida en $\mathbb{R}$.

$\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ también es finito-dimensional álgebra $\mathbb{Q}$. De hecho, $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ es el conjunto de todas las expresiones polinómicas en $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$, por lo que una base es $\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} \}$ debido a que todos los poderes mayor que $1$ puede ser reducido.

Answer 4

Yo prefiero pensar en ello de esta manera: supongamos que $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ son algebraicos sobre $R$, de modo que todos ellos se encuentran en la clausura algebraica $\overline R$. Entonces

• $R[\alpha_1, \ldots, \alpha_n]$ es el más pequeño sub-anillo de $\overline R$ contiene $R$ y los elementos $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$.
• $R(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$ es el campo de fracciones de $R[\alpha_1, \ldots, \alpha_n]$.

Esto es exactamente lo que la definición de "polinomios en la $\alpha_i$" está diciendo. Comenzando con un anillo de $R$, queremos formar un anillo que es tan pequeña como sea posible y contiene $R$$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$.

Si añadimos la $\alpha_i$ elementos de a $R$, entonces ¿cuál es el menor número de elementos que tenemos que añadir para estar a la izquierda con un anillo - es decir, de modo que $R[\alpha_1, \ldots, \alpha_n]$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación? Debemos añadir todos los números formados por la adición y la multiplicación por la $\alpha_i$ - es decir, todos los polinomios en la $\alpha_i$.

La condición de que $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \overline R$ simplemente captura el hecho de que estamos suponiendo que ya sabemos cómo agregar y multiplicar el $\alpha_i$.

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En particular, si $R$ es un campo, y $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ son algebraicos sobre$R$, $R[\alpha_1, \ldots, \alpha_n]$ es también un campo, y por lo tanto es igual a $R(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$.

Sin embargo, si $R$ no es un anillo, o si $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ no son algebraicas, entonces esto no tiene que ser verdadero. Por ejemplo,

• $\mathbb Z[\sqrt 2] \ne \mathbb Z(\sqrt 2)$
• $\mathbb Q[X] \ne \mathbb Q(X)$

Answer 5

Otra forma es darse cuenta de que $\mathbb Q(\sqrt2, \sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3),$ y $(\sqrt2+\sqrt3)^{-1}=\sqrt3-\sqrt2\in\mathbb Q(\sqrt2, \sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3),$ % que $$\mathbb Q(\sqrt2, \sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)=\mathbb Q[\sqrt2+\sqrt3].$$
Ahora sigue fácilmente que $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb Q[\sqrt2,\sqrt3].$ de hecho, esto funciona para cada extensión separable finita, mutatis mutandis.
Espero que esto ayude.