Sea $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ donde $X_1, x_2, \dots, X_n$ son variables aleatorias iid con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ . Entonces el Teorema 5.1 del libro de Gut Probability - A Graduate Course, dice que si $E[X_i^4] < \infty$ y $r \ge 2$ como $n \to \infty$ , $$ E\bigg[\bigg|\frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}\bigg|^r\bigg] \to E[N(0,1)]^r, $$ o equivalentemente $$ E[|S_n - n \mu|^r] \to \sigma^r n^{r/2} E[N(0,1)]^r. $$ ¿Nos permite esto decir algo sobre la magnitud de $E[|S_n|^r]$ como $n \to \infty$ cuando $\mu \neq 0$ ? Parece que debería ser algo como $E[|S_n|^r] = O(n^r)$ ?
Respuesta
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Recuerde que $\|Y\|_{r}:=E[|Y|^r]^{1/r}$ es una semi-norma en el espacio de variables aleatorias con finito $r$ -momento.
El teorema de Gut se reescribe como $\|\frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}\|_r \to \|N(0,1)\|_r$ . Por la desigualdad del triángulo inverso, $$\|\frac{S_n }{\sigma \sqrt{n}}\|_r \leq \|\frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}\|_r + \frac{\sqrt n \mu}{\sigma} = O(\sqrt n)$$ así $$\|S_n\|_r = O(n)$$ y $$E[|S_n|^r] = O(n^r).$$
