¿Cuál es el significado físico de la suma de dos observables no conmutativos?

Question

Escenario: ${\mathcal A}$ y ${\mathcal B}$ son dos observables. Matemáticamente los modelamos mediante dos operadores hermitianos $A\colon H \to H$ y $B\colon H \to H$ en un espacio de Hilbert separable. Físicamente corresponden a experimentos $E_A$ y $E_B$ cuyos resultados son valores en $Spec(A)$ y $Spec(B)$ ; las repeticiones producen distribuciones de valores en estos espectros, valores de expectativa, varianzas y momentos superiores. El operador matemático $A+B$ también es hermitiana. Busquemos pues un experimento que corresponda a este operador y estudiemos su valor de expectativa en el estado $\varphi$ .

Enfoque ingenuo: Probemos experimentos en pareja . Supongamos que tenemos una caja negra que produce muestras de estado $\varphi$ . Toma una muestra del estado, haz experimentos $E_A$ y obtenga el resultado $a$ . Vuelve a muestrear el estado, haz el experimento $E_B$ y obtenga el resultado $b$ . Llama a la suma $a+b$ el resultado del experimento por parejas.

Si $Spec(A) = \{ a_1, a_2 \}$ y $Spec(B) = \{b_1, b_2\}$ entonces el experimento de pares tiene espectro $\{ a_1 + b_1, a_1 + b_2, a_2 + b_1, a_2 + b_2 \}$ . Evidentemente, el experimento por parejas debe describirse en $H \otimes H$ y con un observable completamente diferente. Los detalles son sencillos, pero no tenemos ningún experimento para $A + B$ . :-(

Segundo intento: Supongamos que ${\mathcal A}$ y ${\mathcal B}$ son compatibles y $A$ y $B$ conmutar. Entonces podemos hacer lo siguiente: Muestrear el estado una vez , sobre esa muestra hacer experimentos $E_A$ y $E_B$ en cualquier secuencia, reciben valores independientes de la secuencia $a$ y $b$ y añadirlos. Matemáticamente todo va bien. $A$ y $B$ comparten una base propia, el espectro de $A + B$ es la suma de los valores propios (pertenecientes al mismo espacio propio compartido). Los valores de las expectativas funcionan como se esperaba :-)

Ahora mi pregunta: $A + B$ todavía es un operador hermitiano, aunque $A$ y $B$ no se desplacen. Así que todavía Tengo curiosidad por saber a qué experimento pertenece este operador.

Nota: En caso de que el producto $A \cdot B$ el operador $A\cdot B$ ya no es hermitiana si los operadores no conmutan, y esto me impide plantearme esa pregunta para el producto. Mi pregunta rompería las condiciones previas del formalismo. Pero en $A + B$ el formalismo permite plantear esta cuestión...

Actualización: A raíz de algunos comentarios, intentaré precisar mejor mi pregunta: ¿Cuál es el físico significado de la suma de dos observables?

Evidentemente, la "suma de dos observables" no es la "suma de los valores de los dos observables". Supongamos que el observable $A$ puede tener los valores $2$ o $3$ y suponer que los observables $B$ puede tener los valores $100$ o $200$ entonces el observable $A+B$ no tiene los valores $102$ , $103$ , $202$ o $203$ como podría sugerir un enfoque simple e ingenuo o como podría sugerir una interpretación de "suma de los valores de los dos observables".

Con esta intuición fallida, me gustaría llegar a comprender el significado físico de $A + B$ partiendo de la comprensión de $A$ y $B$ .

Actualización 2: Se ha ajustado la descripción del experimento por parejas para que sea menos engañosa.

Actualización 3: Aunque agradezco las pistas dadas y aunque tanto mi "enfoque ingenuo" como mi "segundo intento" son miserables, mi pregunta sigue siendo: Cuando procedo de $A$ y $B$ a $A+B$ ¿Cuál es el proceso físico o el contenido de esta operación matemática?

Answer 1

Se trata de una cuestión aún abierta sobre el fundamento de las teorías cuánticas.

Normalmente sólo se asume que para cada par de observables acotados $A,B$ (operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert complejo separable) existe un tercer observable acotado $C$ cuyos valores de expectativa son las sumas de los valores de expectativa de $A$ y $B$ para cualquier estado $\psi$ .

Desde $C=A+B$ cumple trivialmente este requisito y los Estados separar los observables, entonces $A+B$ es el observable deseado.

Aquí el problema es doble.

Desde el punto de vista físico, una cuestión natural es

cómo medir $A+B$ ?

En otras palabras,

Q1 Para qué sirve un instrumento de medida $A+B$ si conocemos las de $A$ y $B$ ?

Desde el punto de vista matemático,

Q2 ¿Cómo podemos construir la medida valorada por proyección (PVM) de $A+B$ al conocer las de $A$ y $B$ ?

Si $A$ y $B$ son compatibles, las respuestas son elementales. En cuanto a la primera cuestión, podemos medir $A$ y $B$ en el mismo estado y el resultado de $C$ es la suma de los resultados de $A$ y $B$ . (Si, en cambio, nos interesa el estado posterior a la medición entonces la situación se complica mucho más y no hay una respuesta definitiva).

La respuesta a la segunda pregunta, cuando los observables son compatibles, se encuentra fácilmente aprovechando la PVM conjunto de $A$ y $B$ .

Si $A$ y $B$ son no compatible, no existe una respuesta definitiva especialmente a la primera pregunta. No obstante, si $A$ y $B$ pertenecen a una álgebra de Lie de generadores de un grupo de simetría del sistema físico considerado, entonces también $A+B$ es un generador de una simetría (aquí se trata de observables no limitados definidos en un dominio denso común de autoconjunción esencial). En este caso $A+B$ tiene un significado físico concreto y un instrumento de medida debe ser sugerido por la física.

En cuanto a esta última cuestión (encontrar el PVM de $A+B$ en términos del PVM de $A$ y $B$ para observables incompatibles), en colaboración con dos colegas, hemos publicado recientemente un artículo al respecto que incluye también el caso de observables no compatibles no limitados.

Existe un procedimiento para construir el PVM de $aA+bB$ , $f(aA+bB)$ (para una clase de funciones convenientemente interesante $f$ ) y también de algunos otros operadores construidos a partir de $A$ y $B$ como su producto Jordan $\frac{1}{2}(AB+BA)$ .

La parte final del documento aporta algunas sugerencias sobre la cuestión anterior.

N.Drago, S. Mazzucchi, V.Moretti: Una construcción operativa de la suma de dos observables no conmutativos en teoría cuántica y construcciones relacionadas Lett. Math. Phys , 110 (2020) 3197-3242 DOI: 10.1007/s11005-020-01332-7 arxiv.org/abs/1909.10974

La fórmula final, en mi opinión bastante sugerente, con varias hipótesis reza así $$f(aA+bB)$$ $$ = \lim_{N\to + \infty} \int_{\mathbb{R}^{2N}} f\left(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left(a\lambda_n + b\mu_n\right) \right) dP^{(A)}_{\lambda_1} dP^{(B)}_{\mu_1} \cdots dP^{(A)}_{\lambda_N} dP^{(B)}_{\mu_N} $$ donde $P^{(A)}$ y $P^{(B)}$ son las medidas espectrales (PVM) de $A$ y $B$ respectivamente.

En el caso de dimensión finita, la integral se convierte en una suma sobre los valores propios de $A$ y $B$ y los PVM están formados por proyectores sobre los respectivos eigenspaces.

$$f(aA+bB)$$ $$ = \lim_{N\to + \infty} \sum_{\lambda_1,\ldots, \lambda_N \in \sigma(A)\:, \mu_1,\ldots, \mu_N \in \sigma(B)}f\left(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left(a\lambda_n + b\mu_n\right) \right) P^{(A)}_{\lambda_1} P^{(B)}_{\mu_1} \cdots P^{(A)}_{\lambda_N} P^{(B)}_{\mu_N} $$

Answer 2

Su pregunta no está bien enfocada. Lo único que puedo hacer es darte un ejemplo de suma de operadores no conmutativos que tienen sentido físico. La energía cinética $p^2/2m$ y el potencial de interacción electromagnética $V$ no conmutan y juntos forman el hamiltoniano de Schrödinger.

Answer 3

Lo que usted llama "enfoque ingenuo" se refiere a dos partículas experimentos (de ahí el espace $H\otimes H$ ) y lo que usted describe es en realidad una medida de $A+B$ como un atajo para el operador $A\otimes \mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes B$ para el estado del producto $\vert\phi\rangle\otimes \vert\phi\rangle$ donde $\mathbb{I}$ es la identidad de $H$ . Su valor esperado es $\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle +\langle \phi \vert B\vert\phi\rangle$ ( utilizando $\langle \phi \vert \mathbb{I}\vert\phi\rangle=1$ ) independientemente de la comparabilidad o no de $A$ y $B$ . Al tener un estado de producto, la medida de $A$ en la partícula 1 no puede influir en la medición de $B$ en la partícula 2. ( $A\otimes \mathbb{I}$ y $\mathbb{I}\otimes B$ para cualquier $A$ y $B$ ).

Si ahora tiene que medir la suma $A+B$ para una partícula la predicción implicará probabilidades condicionales como $p(b|a)$ (suponiendo $b$ es uno de los resultados de $B$ y $a$ el resultado es $A$ obtenidos previamente) y éstos se simplifican sólo cuando $A$ y $B$ conmutar. Esto no proporciona un expetimemt para medir $A+B$ pero explica por qué el resultado esperado es diferente.

Matemáticamente, la medición sucesiva de $A$ y $B$ tiene un valor esperado $$ \langle \phi \vert A+B\vert\phi\rangle = \sum_a p(a) \Big(a+ \sum_b p(b|a) b\Big) $$ Si $P_a$ denotan el proyector sobre el espacio eigénico de $A$ con valor propio $a$ , $p(a)= \langle \phi \vert P_a\vert\phi\rangle$ a $p(b|a)=\displaystyle\frac{\langle \phi \vert P_a P_b P_a\vert\phi\rangle}{\langle \phi \vert P_a\vert\phi\rangle}$

Tras la expansión, el primer término es simplemente $\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle$ y la segunda, utilizando $\sum_b b P_b =B$ es $$ \sum_{a,b}\langle \phi \vert P_a P_b P_a\vert\phi\rangle b = \langle\phi \vert \tilde B\vert\phi\rangle \quad\text{with}\quad \tilde B = \sum_a P_a B P_a $$ Por último : $$ \langle \phi \vert A+B\vert\phi\rangle = \langle\phi \vert A\vert\phi\rangle + \langle\phi \vert \tilde B\vert\phi\rangle $$ Esto se reduce al valor ingenuo en el caso especial en que $\vert\phi\rangle$ es un estado propio de $A$ o más interesante para cualquier $\vert\phi\rangle$ si $A$ y $B$ son compatibles: entonces $P_a$ y $B$ conmutar, y $\tilde B = B$ .

No obstante, en este esquema, el estado de salida será un vector propio de $B$ y no de $A+B$ ...

Answer 4

Si $Spec(A) = \{ a_1, a_2 \}$ y $Spec(B) = \{b_1, b_2\}$ entonces el experimento de pares tiene espectro $\{ a_1 + b_1, a_1 + b_2, a_2 + b_1, a_2 + b_2 \}$ .

No creo que esto sea formalmente correcto. Tome $A = s_z = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}1&0\\0&-1\end{array}\right)$ y $B = s_x = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}0&1\\1& 0\end{array}\right)$ . Calcular el espectro de $A+B$ y comprueba que no cumple tu condición.

Para responder a la pregunta en el contexto de este ejemplo: el significado físico de $A+B$ es la medida de espín a lo largo del $\vec{n}_x + \vec{n}_z$ (multiplicado por $\sqrt{2}$ (para ser pedante)

Answer 5

Si $A$ y $B$ comparten estados propios, y éstos son también los estados propios de $(A+B)$ medir "A+B" dará el mismo resultado que medir "A" entonces "B" (o "B" entonces "A"). El operador $(A+B)$ corresponde al observable que cabría esperar: medir la suma de "A" y "B" en una sola medición es lo mismo que la suma de mediciones individuales (consecutivas) de "A" y luego de "B".

Si $A$ y $B$ no conmutan, entonces los estados propios de $(A+B)$ normalmente no se comparten con $A$ o $B$ . El operador $(A+B)$ sigue correspondiendo al observable $(A+B)$ pero esto ya no es lo mismo que medir $A$ y luego $B$ . Si tienes una máquina de medir "A" y una máquina de medir "B", necesitas una nueva máquina de medir "A+B" y el hecho sorprendente de la mecánica cuántica es que los posibles resultados de esa máquina no son los mismos que los posibles valores que puedes formar sumando los posibles resultados de la máquina "A" a los posibles resultados de la máquina "B".

Para convencerte de por qué $(A+B)$ es el operador para una única medida de "A+B" piense en cómo $\frac{P^2}{2m} + V$ es el operador para una única medida de energía total, y el operador se forma a partir de la relación física que esperamos para la energía cinética y potencial. Pero los posibles resultados de una medición de la energía total son muy diferentes de la suma de una medición de la energía potencial seguida de una medición de la energía cinética: la medición de la energía potencial (es decir, la posición) "estropeará" por completo la medición posterior de la energía cinética (es decir, el momento) porque no conmutan.