Definición de representaciones regulares de un grupo algebraico $G$

Question

He encontrado la siguiente definición de representación regular:

Sea $V$ sea un espacio vectorial complejo. Una representación $(\rho\colon G\to \mathbf{GL}(V), V)$ de un grupo algebraico lineal $G$ es regular si $\text{dim}(V)<\infty$ y las funciones sobre $G$ , \begin{align} G &\to \mathbb{C}\\ g&\mapsto \left<v^{\ast},\rho(g)v \right>, \end{align} que llamamos coeficientes de la matriz de $\rho$ son regulares para todos $v\in V$ y $v^{\ast}\in V^{\ast}$ .

Toma, $\left<v^{\ast},v \right>:= v^{\ast}(v)$ . Tengo varias preguntas; en primer lugar, ¿hay alguna razón por la que la evaluación $v^{\ast}(v)$ ¿se denota como producto interior? ¿Por qué llaman a estas funciones coeficientes de la matriz? ¿Es ésta la misma definición de representación regular que se ve en la teoría de la representación? Es decir, la representación $L\colon G\to \mathbf{GL}(\mathbb{C}G)$ definido por $$L_{g}\sum_{h\in G}c_{h}h = \sum_{h\in G}c_{h}gh = \sum_{x\in G}c_{g^{-1}x}x$$

Answer 1

La razón de denotar la evaluación como un emparejamiento (por ejemplo, el emparejamiento con el que parece estar más familiarizado es el producto interior) es que a menudo $V^{**}\simeq V$ por lo que uno quiere ver $V$ y $V^*$ como duales entre sí, pero no siendo un espacio el "original" y otro "el dual del espacio original". La notación de emparejamiento enfatiza esta simetría, pero es sólo notación.

Si elige una base de $V$ y la correspondiente base dual de $V^*$ entonces los coeficientes de la matriz son exactamente las entradas de la matriz $\rho(g)$ . De ahí su nombre.

Su última pregunta es un poco vaga; $V$ anterior es cualquier representación de dimensión finita, tal que $V$ no van a ser todas isomorfas a la representación regular de $G$ . De hecho, ¡ninguno de ellos lo es! Si defines la "representación regular" de forma ingenua, copiando la definición de los grupos finitos, acabas teniendo un espacio de dimensiones inifinitas con una acción como la que has definido. Sin embargo, no tiene ninguna propiedad útil; las representaciones de $G$ no corresponden a módulos sobre esta álgebra, y como representación de $G$ no se descompone en todas las representaciones simples de dimensión finita de $G$ . Para los grupos algebraicos lineales, el álgebra revelante es en realidad el álgebra de coordenadas $\mathbb{C}[G]$ de $G$ como variedad. La estructura de grupo de $G$ convierte esta álgebra en un álgebra de Hopf, por el lema de Yoneda, y las representaciones regulares de $G$ son equivalentes a los co-módulos sobre $\mathbb{C}[G]$ . Esto se puede encontrar escrito en cualquier libro de introducción a los grupos algebraicos.