La versión de la Doob-Dynkin lexema dado en mi libro de texto es como sigue:
Deje $f: \Omega_1 \to \Omega_2$ ser una función, vamos a $\mathcal{F}$ $\sigma$- álgebra en $\Omega_2$, y deje $\sigma(f)$ $\sigma$- álgebra en $\Omega_1$ generado por $f$. Indicar el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$$B(\mathbb{R})$. A continuación, $h : \Omega_1 \to \mathbb{R}$ es medible si y sólo si $h = g \circ f$ para algunos medibles función de $g: \Omega_2 \to \mathbb{R}$.
Mi libro de texto también establece que este lema se produce un error si reemplazamos $(\mathbb{R},B(\mathbb{R}))$ por algún otro espacio medible, pero no proporciona un ejemplo de este fracaso. Como tal, estoy tratando de encontrar un ejemplo en el mío propio, pero no estoy seguro de por dónde empezar. Cualquier ayuda es muy apreciada.
