La respuesta es No . En lugar de escribir un contraejemplo (que se puede hacer directamente, véase también el final de esta respuesta) voy a explicar cómo llegué a una clase de contraejemplos.
Como ya he explicado en mi comentario, las inclusiones $\pi(\overline{\pi^{-1}(B)}) \subseteq \overline{B}$ y $B \subseteq \pi(\overline{\pi^{-1}(B)})$ son claros para cada subconjunto $B \subseteq Y$ de modo que la afirmación es equivalente a la afirmación de que $\pi(\overline{\pi^{-1}(B)})$ está cerrado. Para refutar esto, es insuficiente para encontrar un subconjunto cerrado $A \subseteq X$ tal que $\pi(A)$ no está cerrado, ya que puede ocurrir que $A$ no puede escribirse como $\overline{\pi^{-1}(B)}$ .
Desde $\pi : X \to Y$ es suryectiva, los subconjuntos de $Y$ corresponden biyectivamente a los subconjuntos $A \subseteq X$ que son saturado lo que significa que $A = \pi^{-1}(\pi(A))$ retenciones. La correspondencia viene dada por $A \mapsto \pi(A)$ y $B \mapsto \pi^{-1}(B)$ . Así que la afirmación es equivalente a: Para cada $A \subseteq X$ el conjunto $\pi(\overline{A})$ está cerrado. Y esto significa, por la definición de la topología cociente, que la saturación $\pi^{-1}(\pi(\overline{A}))$ está cerrado.
Ahora $\pi$ corresponde a una relación de equivalencia $\sim$ en $X$ . Los subconjuntos saturados son las uniones de clases de equivalencia, y la saturación se da tomando la unión de todas las clases de equivalencia de los elementos del conjunto. De este modo hemos transformado completamente el enunciado en algo interno a $X$ . La pregunta es: ¿es la saturación del cierre de un subconjunto saturado un subconjunto cerrado? Pero el proceso de tomar la saturación (y, por tanto, la noción de saturación) no tiene nada que ver con la topología sobre $X$ . Esto hace que sea muy improbable que la afirmación sea cierta.
Veamos una clase sencilla de ejemplos de espacios topológicos. Cualquier orden parcial $(X,\leq)$ da lugar a un espacio topológico con el mismo conjunto subyacente: los subconjuntos cerrados son los conjuntos inferiores . El cierre $\overline{A}$ de un subconjunto $A \subseteq X$ contiene los elementos $\leq$ algún elemento de $A$ . Por tanto, la saturación de $\overline{A}$ viene dado por $\{x \in X : \exists x' \in X, a \in A ~ (x \sim x' \leq a)\}$ y la cuestión es si se trata de un conjunto inferior. Pero como $\sim$ puede definirse con total independencia de $\leq$ Esto no puede ser cierto en general.
He aquí un ejemplo concreto: Consideremos el orden parcial $\{0 < 1 < 2 < 3\}$ . Defina $\sim$ de modo que las clases de equivalencia son $\{0,3\}$ , $\{1\}$ , $\{2\}$ . Sea $A = \{1\}$ . Entonces $\overline{A} = \{0,1\}$ y su saturación es $\{0,1,3\}$ que no está cerrado.
