Estoy confundido con los morfismos de los supermanifolds. Tomemos un ejemplo sencillo $f:R^{0|1}\to R^{0|1}$ . Por (una de) definición, $f$ es un morfismo de superálgebras de funciones $C(R^{0|1})\to C(R^{0|1})$ . Los morfismos de las superálgebras preservan la gradación, deduje que $f$ tienen la forma $1\mapsto 1, \theta\mapsto x\theta$ es decir $Hom(R^{0|1}\to R^{0|1})=R^1$ (¿en conjunto?). Pero he leído en un artículo que $Hom(R^{0|1},R^{0|1})=R^{1|1}$ . ¿Qué ocurre? Gracias de antemano.
Respuestas
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Tienes razón en que el conjunto de morfismos de supermanifoldes $Hom(\mathbb R^{0|1},\mathbb R^{0|1})$ a sí mismo es $\mathbb R^1$ . Sin embargo, se puede definir para los supermanifolds $X,Y$ con $\dim X=0|d$ a supermanifold $map(X,Y)$ de morfismos de $X$ a $Y$ por $Hom(Z,map(X,Y))=Hom(Z\times X,Y)$ para todos los supermanifolds $Z$ .
Y $map(\mathbb R^{0|1},\mathbb R^{0|1})=\mathbb R^{1|1}$ .
user17229
Puntos
16
@Ma: Como respuesta a tu siguiente pregunta:
¿Podría dar una pista de cómo calcular el $map$ por ejemplo, $map(R^{0∣d},M)$ para cualquier supermanifold $M$ ?
Eche un vistazo a arXiv:math/0307303, donde se discute esta cuestión.
Para $d=1$ es bien sabido (y se debe a Kontsevich, creo), que $map(R^{0|1},M)$ es el espacio total del haz tangente impar $\Pi TM$ de $M$ .
Si $U$ es un superdominio de dimensión $p|q$ entonces $map(R^{0|d},U)=U\times R^{pr+qs|ps+qr}$ donde $(r+1)|s=2^{d-1}|2^{d-1}$ es la dimensión graduada de $\bigwedge R^d$ . Esto se puede comprobar utilizando la definición de $map$ y la caracterización de morfismos de supermanifolds dada en Leites.
Otra buena fuente sobre este tema (para $d=1$ ), es el artículo "Differential forms and 0-dimensional supersymmetric field theories" de Hohnhold, Kreck, Stolz y Teichner.
