Normal a un cilindro en coordenadas cartesianas

Question

¿Cómo puedo encontrar un vector normal a un cilindro en un sistema de coordenadas cartesianas? Creo saber que es $[r\cos \theta, r\sin \theta,0]$ en cilíndrica, pero quiero puntear la normal con mi función $f$ en coordenadas cartesianas.

Answer 1

En coordenadas cilíndricas, con vectores de base $\vec{1}_r,\vec{1}_{\theta},\vec{1}_{z}$ la normal al cilindro es simplemente $\vec{1}_r$ .

Tu expresión ya está en coordenadas cartesianas: das un $x$ componente, un $y$ y un componente $z$ componente. A menos que quieras escalar la normal con el radio del cilindro (¿y por qué querrías eso?), la normal es $$[\cos(\theta),\sin(\theta),0]$$ Si desea esto en función de $x,y$ y no en función de $\theta$ utilice las fórmulas de conversión entre cilíndrica y cartesiana $$x=r \cos(\theta)$$ $$y=r \sin(\theta)$$ $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ Así $$\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos(\theta)$$ $$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin(\theta)$$ Así que lo normal es $$\left[\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},0\right]$$