¿Por qué es positivo este fardo?

Question

Sea $E$ sea un haz holomorfo (con rango $r$ ) sobre una variedad compleja compacta $X$ . $E^{*}$ denotará su dual. $\mathbb{P}(E^{*})$ denotará el haz proyectivo asociado al dual de $E$ et $O(1)$ será el haz dual del haz tautológico sobre $\mathbb{P}(E^{*})$ (cf. aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_bundle#CITEREFHartshorne ).

Considero que $\pi: \mathbb{P}(E^{*}) \mapsto X$ la proyección y me gustaría mostrar

$$\pi^{*}K_{X}^{*} \otimes \pi^{*}\det(E^{*}) \otimes O(1)^{r+1} \otimes \pi^{*}L^{\otimes N}$$

es positivo en $\mathbb{P}(E^{*})$ para $N$ suficientemente grande si $L$ es un haz de líneas positivo (es decir, si $L$ admite una forma hermitiana cuya forma de curvatura es una forma de Kahler sobre X).

¿Tiene alguna idea para demostrarlo?

PS : $\det(E)$ es el haz de líneas de la holomorfa $r$ formas sobre $E$ et $K_X$ el haz de las holomorfas $\dim(X)$ formar sobre $X$ .

Answer 1

En general es un hecho que en cualquier variedad proyectiva $M\otimes L^{\otimes N}$ es un haz de líneas positivo para haces de líneas $M$ et $L$ con $L$ positivo y $N \gg 0$ (porque las formas de curvatura se suman al tensar haces de líneas).

A continuación, es otro hecho general que si $\pi : Y \rightarrow X$ es un morfismo proyectivo, $M$ un haz de líneas positivo en $Y$ y $L$ un haz de líneas positivo en $X$ entonces $M\otimes \pi^*L$ es positiva (porque la forma de curvatura positiva se retraerá al menos a una no negativa).

Ahora, el haz en cuestión puede reescribirse como: $$ (\mathcal{O}(1)^{r+1}\otimes \pi^*L^{N_1})\otimes \pi^*(K_X^*\otimes \text{det}(E^*)\otimes L^{N_2}) $$ para $N_1,N_2 \gg 0$ et $N = N_1 + N_2$ . El haz $K_X^*\otimes \text{det}(E^*)\otimes L^{N_2}$ es entonces positivo por el primer hecho (ya que $L$ es positivo), por lo que por el segundo hecho nos reducimos a demostrar que $\mathcal{O}(1)^{r+1}\otimes \pi^*L^{N_1}$ es positivo.

Para ver (con algo menos de precisión) que $\mathcal{O}(1)^{r+1}\otimes \pi^*L^{N_1}$ es positivo, obsérvese que $\mathcal{O}(1)$ restringe a $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^r}(1)$ en las fibras de $\pi$ por lo que es positiva en las direcciones tangentes a esas fibras. Y $\pi^*L^{N_1}$ es tan positivo como quieras en todos otros direcciones. Así que $\mathcal{O}(1)^{r+1}\otimes \pi^*L^{N_1}$ es positivo en todas las direcciones.