Distancia más corta entre dos curvas generales utilizando matlab

Question

Dadas dos funciones: $F(x)$ et $G(x)$ ¿hay alguna forma de averiguar la distancia más corta entre $F(x)$ et $G(x)$ siempre que sepamos que no se cruzan. Intenté considerar puntos paramétricos en las dos curvas y apliqué la fórmula de la distancia. El paso obvio era entonces minimizar la función. Sin embargo hay dos problemas: uno es que es bastante tedioso diferenciar la función distancia y el problema principal es que la función no es una función de una sola variable. Teniendo en cuenta estas cuestiones, ¿podría alguien aportar alguna idea sobre este problema?

Answer 1

Para responder, supongo $F(x)$ et $G(x)$ son continuo en $I \in \mathbb{R}, I = [a,b]$ . Para simplificar, dejemos que $F(x)=f, G(x) = g, H(x) = h = f-g$ . Por simetría puedo suponer $f \ge g$ . Consideremos ahora la función $h(x)$ :

• si $\exists x | h(x) = 0$ significa que hay un punto $x$ tal que $f(x) = g(x) \Rightarrow ||f(x) - g(x)|| = 0$ por lo que la distancia mínima más corta entre $f$ et $g$ es 0
• si no, hallar el valor mínimo de $h$ (dejando $h'=0$ ): llamemos al mínimo $m$ . Sea $P$ sea el punto que se encuentra intersecando $f$ y el normal (es decir, la tangente a la tangente a la curva) a $g$ y $N$ viceversa (por favor, eche un vistazo a la imagen de abajo). Es necesario fijar un punto $a$ en $f | P \le a \le f(m)$ y un punto $b$ en $g| g(m) \le b \le N$ entonces la distancia más corta es $\min[||a-b||]$ .

Answer 2

Hay varias formas de resolver este tipo de problema: la elección de los métodos depende de los detalles de las dos funciones/curvas. Voy a suponer aquí que te refieres a la definición habitual de distancia entre dos curvas, donde el segmento de línea dado puede no ser vertical.

1) Como sugieres, parametriza las dos curvas, halla la función distancia entre dos puntos --uno en cada curva-- y minimiza la función distancia. Como usted escribe, esto será una función de dos variables independientes, por lo que es necesario utilizar el cálculo multivariable.

2) Utilice Multiplicadores de Lagrange . Esto implicará (creo) cuatro variables independientes: $x$ , $y$ y una para cada curva. Esto es aún más multivariable.

3) Dadas las hipótesis comunes, el segmento de recta de longitud mínima entre las funciones es perpendicular a la recta tangente a cada función. Podrías entonces parametrizar las rectas normales de cada función y hallar qué rectas son comunes a ambas curvas. Es posible que obtengas más de una, pero probablemente haya finitas, así que elige las rectas normales que den la menor distancia.

4) También existen estrategias combinadas, como hallar las rectas normales a una curva, encontrar la intersección de cada recta con la otra curva, hallar la distancia resultante y minimizar esa expresión. Esta estrategia evita las variables múltiples.

Answer 3

Un método que debería encontrar una distancia local mínima (o máxima) entre dos curvas implica resolver dos ecuaciones para dos incógnitas.

Supongamos dos funciones continuas no intersecantes, f(x) y g(x), con un línea que interseca cada curva normalmente en las coordenadas (x1, f(x1) y (x2, g(x2))

Ecuaciones: // comentarios

1. $f'(x_1)= g'(x_2)$ // línea de intersección normal a las curvas --> las pendientes en las intersecciones deben ser iguales.

2. $x_1/f'(x_1) + f(x_1) = x_2/g'(x_2) + g(x_2)$ //y intercepción de la línea debe ser igual.

Resuelve x1 en términos de x2 utilizando la ecuación 1.
Sustituye x2 en la ecuación 2 y resuelve x2 algebraicamente o utilizando métodos numéricos.
Resuelve de nuevo para x1 utilizando la ecuación 1.

Esto debería producir $(x_1, f(x_1)), (x_2, g(x_2))$ y una ecuación para la recta normal si se desea.

Ejemplo: $f(x)=\sqrt(x), g(x)=x^2 + 1$ Línea normal (a lo largo del mínimo)