Tengo dos matrices $A$ et $B$ en $\mathbb{R}^{m \times n }$ ( $m \gg $ n) tal que existe una matriz ortonormal $X \in \mathbb{R}^{n \times n }$ tal que:
$$AX = B$$
Dado que $X$ es ortonormal esto también es cierto:
$$A = BX^T$$
Cómo encontrar $X$ ?
Intenté utilizar Inversión Moore-Penrose $A^+$ y obtuve un resultado no-ortonormal $Y = A^+B$ que sólo funciona en un sentido:
$$AY = B$$
pero no en otro. El problema es que ambas matrices $A$ et $B$ no son absolutamente precisos (obtenidos en cálculos numéricos). Así que la solución no ortonormal $Y$ surge. Es ligeramente más precisa que la solución exacta $X$ : $\|AY - B\| \lt \|AX - B\| < 0.001 $ . Pero en el caso inverso, por supuesto, no funciona en absoluto: $\|BY^T - A$$ \| > 100.0$ . Mientras que la solución exacta es lo suficientemente buena en ambos sentidos: $\|BX^T - A\| < 0.001$ .
$A$ es de rango completo, es decir $A^+A = I$ (¡En realidad no! Ver Posdata)
Así que la pregunta es ¿cómo encontrar la solución ortonormal del sistema de ecuaciones lineales sobredeterminadas?
P.D.
Resultó que mis problemas fueron causados por la presencia pequeña de valores singulares singulares de A y B. Así que el problema en general estaba mal condicionado. He aceptado la respuesta de @Federico-Poloni porque aborda directamente la pregunta original y tiene una referencia. La respuesta de James también parece funcionar, pero tengo que elegir sólo una.
