¿Cuáles son las restricciones de un operador de "pureza" en mecánica cuántica?

Question

Considera el estado normalizado, escrito en alguna base ortonormal como: $$\psi = A |0\rangle + B |1\rangle$$

Definamos un "operador de pureza" para una base como cualquier operador cuyo valor de expectativa da 1 para un estado puro en esta base, y 0 para el estado más mezclado en esta base. Los estados intermedios deberían dar entre 0 y 1, aunque el valor específico no importa.

Un ejemplo posible (tenga en cuenta que mi pregunta se refiere al caso general, este ejemplo específico es sólo para ayudar a la discusión), es $$\langle \mathcal{O} \rangle = 1 - 4 \frac{|A||B|}{|A|+|B|}$$

¿Qué impide matemáticamente tales mediciones en mecánica cuántica?

Answer 1

Por el ejemplo que has puesto, está claro que utilizas términos equivocados para describir lo que quieres. Pureza y mixtura se aplican a los operadores de densidad y no a los vectores de estado -- si su sistema se describe por un vector de estado $|\psi\rangle$ ya es puro.

Lo que parece que quieres saber es si existe un operador que, en una base concreta, tenga un valor de expectativa que te permita saber hasta qué punto el estado está en una superposición de estados de la base. Creo que el operador de incertidumbre podría servirte en este caso. Si $S$ es el operador cuyos estados propios son $|0\rangle$ y $|1\rangle$ entonces el operador $(S-\langle S\rangle)^2$ tiene un valor de expectativa nulo para los estados base y un valor distinto de cero para todas las superposiciones. Podrías escalar esto de alguna manera para obtener un valor entre 0 y 1.

Answer 2

La pregunta (v1) abusa ligeramente del lenguaje, se entienda como se entienda. Aquí esbozo tres interpretaciones.

1) Interpretación en términos de matriz de densidad $\rho$ :

Supongamos que el operador ${\cal O}$ es diagonalizable. Como los estados propios son estados puros, los valores propios deben ser $1$ . En otras palabras, ${\cal O}$ es el operador de identidad. Entonces $\langle {\cal O} \rangle = \mathrm{tr}{\cal O}\rho=\mathrm{tr}\rho=1$ para cualquier matriz de densidad mixta o pura $\rho$ .

2) Interpretación en términos de operador ${\cal O}$ que satisfaga

$$\langle 0 |{\cal O}| 0\rangle =1,$$ $$\langle 1 |{\cal O}| 1\rangle =1,$$ $$\langle \psi |{\cal O}| \psi\rangle =0 \qquad \mathrm{for~~all} \qquad |A|=|B|=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Aquí

$$|\psi\rangle = A| 0\rangle+B| 1\rangle, \qquad 1=||\psi||^2 = \langle \psi|\psi\rangle =|A|^2+|B|^2 .$$

$|A|=|B|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ es no lo que tradicionalmente se entiende por ser "el Estado más mixto". Nótese que no hay sólo uno de estos estados, sino infinitos pares de números complejos $(A,B)$ que satisfagan $|A|=|B|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Incluso después de eliminar una fase global, queda una fase relativa.

Supongamos que ${\cal O}$ es un operador hermitiano. Entonces ${\cal O}$ tiene una matriz de la forma

$${\cal O} = \left[\begin{array}{cc} 1 & c \\ c^* & 1 \end{array}\right]. $$

Así que

$$0=\langle \psi |{\cal O}| \psi\rangle = |A|^2+|B|^2+A^*cB+B^*c^*A = 1+2\mathrm{Re}(A^*cB).$$

Pero esto es imposible para las fases complejas generales de $A$ y $B$ con $|A|=|B|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

3) Interpretación en términos de operador ${\cal O}$ que satisfaga

$$\langle 0 |{\cal O}| 0\rangle =1,$$ $$\langle 1 |{\cal O}| 1\rangle =1,$$ $$\langle \psi |{\cal O}| \psi\rangle =0 \qquad \mathrm{for~at~least~one} \qquad |A|=|B|=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

El polinomio característico $p_{\cal O}(\lambda)$ para la matriz ${\cal O}$ lee

$$p_{\cal O}(\lambda)=\det({\cal O}-\lambda {\bf 1})= (\lambda-1)^2-|c|^2= (\lambda-1-|c|) (\lambda-1+|c|).$$

Por tanto, los dos valores propios de ${\cal O}$ son $\lambda=1\pm|c|$ . Dado que los valores esperados para ${\cal O}$ debe estar entre $0$ y $1$ debemos exigir que $c=0$ . En otras palabras, ${\cal O}$ es el operador identidad, lo que conduce a la siguiente incoherencia

$$0=\langle \psi |{\cal O}| \psi\rangle =\langle \psi |\psi\rangle =1.$$