$A,B$ son matrices 2x2 distintas de cero tales que $AB=0$ demuestre que existe una matriz $C$ tal que $AC=CA=0$

Question

He conseguido demostrar que $nullity(A)=1$ y por lo tanto $rank(A)=1$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo seguir adelante.

Answer 1

Sea $A$ sea una matriz cuadrada singular. Entonces hay un vector fila distinto de cero $u$ con $uA=0$ y un vector columna distinto de cero $v$ con $Av=0$ . Sea $C=vu$ . Entonces $C$ es una matriz distinta de cero con $AC=CA=0$ .