Supongamos que tengo dos puntos en una de Riemann colector $M$, llama$p_0$$p_1$. Tengo una familia de curvas de $\gamma:[0,\infty)\times[0,L]\to M$ tal que $\gamma(t,0) = p_0$$\gamma(t,L) = p_1$. Como una función de la $t$, vamos a $\gamma$ evolucionan como si estuviera hecho de amortiguamiento elástico, de modo que la curva trata de sacar de sí misma en una geodésica. Es decir, que denotan $\gamma'(t,x) = \frac{\partial}{\partial x} \gamma(t,x)$, obedece a la PDE: $$ \frac{\partial}{\partial t} \gamma(t,x) = \frac{\partial}{\partial x} \gamma'(t,x) + \nabla_{\gamma'(t,x)} \gamma'(t,x)$$ donde $\nabla_u v$ denota la costumbre derivada covariante de $v$ con respecto al $u$.
Estoy interesada en saber si $\gamma(t,\cdot)$ converge a una geodésica en $M$ a un ritmo exponencial. Yo estaba un poco sorprendido de lo buena prueba de que yo era capaz de obtener, casi como si la definición de curvatura seccional fue diseñado con este resultado en mente. Básicamente, si la curvatura seccional no es positivo, entonces se hace converger con un ritmo exponencial, y si la sección transversal de la curvatura es positiva, entonces la hipótesis parece exactamente excluir el caso cuando la curva es en el ámbito que va desde el polo norte hasta el polo sur.
Mi pregunta es esta: ¿este resultado ya existen en la literatura, y donde? (Tal vez incluso es un ejercicio de algún libro.)
Nota este PDE es un tipo de ecuación del calor. Yo no sé acerca de un artículo por Eells, J.; Sampson, J. H. (1964), "Armónico de las asignaciones de Riemann colectores", Amer. J. Math. 86: 109-160, JSTOR 2373037. Pero creo que mi problema es un poco más simple que la de ellos. (Por otro lado, yo no he visto en este trabajo en detalle, así que tal vez está oculto en alguna parte.)
