CCC + normalidad de colección => ¿paracompacto?

Question

¿Existe un espacio CCC y normal coleccionable que no sea paracompacto?

Como sabemos, CCC + monotonenormalidad => Lindelöf.

CCC + normalidad de la colección => ¿paracompacto?

CCC = condición de cadena contable

Normalidad en función de la colección = si $X$ es un $T_{1}$ espacio y para cada familia discreta

$\{F_{s}\}_{s \in S}$ de subconjuntos cerrados de $X$ existe una familia discreta

$\{V_{s}\}_{s \in S}$ de subconjuntos abiertos de $X$ tal que $F_{s}$ $\subset$ $V_{s}$ para cada $s \in S$ .

Answer 1

Sí que la hay. Deja que $I = \omega_1$ sea el primer ordinal incontable, y sea $P = \{0,1\}^I$ sea el producto incontable de espacios discretos de 2 puntos. Sea $S$ El llamado $\Sigma$ -sea su subespacio de todos los puntos que tienen a lo sumo un número contable de coordenadas diferentes de $0$ .

Es bien sabido que $S$ es ccc (como subconjunto denso de un espacio ccc $P$ ) y contablemente compacto (pero no compacto, siendo denso en $P$ ) y (hereditariamente) normal a nivel de colección, pero no paracompacto (siendo contablemente compacto y no compacto). Las pruebas de algunos de estos hechos se pueden encontrar aquí por ejemplo

Corson mostró en este documento (no se puede encontrar la descarga gratuita) que si $X$ es denso en un producto de espacios metrizables, y $X \times X$ es normal, entonces $X$ es normal en función de la colección. Esto se puede utilizar para demostrar la normalidad de la colección, como $S \times S$ es homeomorfo a $S$ por lo que sólo hay que demostrar normalidad.

Un ejemplo muy relacionado es el conjunto $C_p(L(\aleph_1))$ donde $L(\aleph_1)$ es la Lindelöficación de un punto de un espacio discreto de tamaño $\aleph_1$ (añadir un punto $\infty$ con barrios contables conjuntamente), y $C_p(X)$ es el espacio de las funciones continuas de valor real sobre un espacio $X$ en la topología del subespacio de $\mathbb{R}^X$ . Este ejemplo se discute en la página 113 del libro Topología General III, de la serie Enciclopedia de Ciencias Matemáticas (volumen 51). Todos los espacios de la forma $C_p(X)$ para Tychonoff $X$ son ccc, y si son normales, son colectivamente normales (debido a Reznichenko), por lo que es natural buscar ejemplos allí.

[añadido:] Este espacio no es paracompacto porque para un espacio ccc como $C_p(X)$ paracompacto es equivalente a ser Lindelöf, y $C_p(L(\aleph_1))$ contiene el $\Sigma$ -producto de copias de $[0,1]$ como un subespacio cerrado natural (tome todos $f$ con todos los valores en $[0,1]$ y $f(\infty)=0$ ), y este $\Sigma$ -como el mencionado anteriormente, es ccc y contablemente compacto, pero no compacto (por tanto, no es Lindelöf y, por tanto, no es paracompacto).

Un inciso: según resultados bien conocidos, estos dos espacios son Fréchet-Urysohn, pero no primeros contables. ¿Puede haber ejemplos primero contables?