Notación para campos finitos

Question

¿Qué significa lo siguiente?

Si $q(x)$ es un polinomio irreducible de grado $d$ y $d$ divide $n$ entonces $q(x)$ divide $x^{p^n}-x$ .

Sea $F = F_p[x]/(q(x)) = F_p[\alpha]$ donde $\alpha = [x]_{q(x)}$ . Entonces $q(x)$ es el polinomio mínimo sobre $F_p$ de $\alpha$ .

En $\alpha = [x]_{q(x)}$ ¿Qué quiere decir? ¿Y por qué "Entonces $q(x)$ es el polinomio mínimo sobre $F_p$ de $\alpha$ .".

Sé lo que $F_p[x]/(q(x))$ es un anillo cociente, pero ¿por qué es igual a $F_p[\alpha]$ donde yo pensaba $F[\alpha] = \{ p(\alpha)\mid p(x)\in F[x]\},$

Answer 1

$\alpha = [x]_{q(x)}$ es la clase de equivalencia de $x$ en el cociente, es decir $x+\langle q(x) \rangle$ .

La razón $q(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F_p$ es que si para algún polinomio $g(x)$ sostiene que $g(\alpha)=0$ entonces por el algoritmo euclidiano se obtiene $g(x)=q(x)p(x)+r(x)$ de ahí $r(x)=q(x)p(x)-g(x)$ así $r(\alpha)=q(\alpha)p(\alpha)-g(\alpha)=0$ (ya que $\alpha = [x]_{q(x)}$ es una raíz de $q(x)$ en $F$ ) por lo que concluimos $r(x)=0$ Es decir $g(x)=q(x)p(x)$ Es decir $g(x)\in \langle q(x) \rangle$ .

Así que se puede ver que el conjunto de los polinomios que $\alpha$ es un cero de ellos es generado por $q(x)$ y está claro que no hay ningún polinomio en $\langle q(x) \rangle$ con menor grado.

Nota: usted no mencionó esto, pero para cualquier $\beta\in F_p$ s.t. $\beta\neq 0$ sostiene que $\langle q(x) \rangle=\langle \beta q(x) \rangle$ por lo que no está claro que su $q(x)$ es mónico, pero si $a_n$ es el coeficiente principal de $q(x)$ entonces $\frac{q(x)}{a_n}$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F_p$ (esto se debe a que el polinomio mínimo está definido para ser mónico)