He encontrado una definición alternativa de un objeto de grupo, que se muestra a continuación:
Supongamos que $F:C^{op} \rightarrow Grp$ es un functor tal que composición con el functor olvidadizo $?:Grp \rightarrow Set$ i representable por algún objeto $X \in C$ . X se denomina objeto de grupo en C.
Puede ver más sobre esta definición aquí y aquí . Ahora, veo la intuición y la equivalencia, sobre cómo derivar la noción habitual de un objeto de grupo de lo anterior. Pero esta definición por sí misma me resulta extraña. ¿Cómo puede un objeto de grupo sólo sea un objeto de la categoría, sin morfismos asociados? Más específicamente, lo que he estado luchando con es la siguiente: es un hecho elemental que un objeto de grupo en $Sets$ es un grupo, y un objeto de grupo en $Grps$ es un grupo abeliano. Sé cómo demostrarlo utilizando la definición convencional de objeto de grupo, pero ¿cómo se demuestra para esta definición, sin recurrir a la definición habitual?
Mi vaga idea: Llamar a $G$ el objeto de grupo y dejar que $X \in C$ . Cada $Mor(X, G)$ puede interpretarse como un grupo. En particular, esto nos ayudará a identificar nuestra identidad (cuando $C = Set$ ) mirando $Mor(\{*\},G)$ y mi impresión general es que debería utilizar los morfismos en G y su estructura de grupo asociada para descubrir una estructura de grupo en $G$ . Sin embargo, me sigue inquietando el hecho de que $G$ es sólo un objeto sin más estructura. Por ejemplo, en $Set$ G es sólo un conjunto, y elegir un elemento y decir "esto actuará como la identidad" no significa mucho cuando no hay multiplicación ni inversa ni nada codificado en $G$ .
