Demostrar que la cardinalidad del conjunto de todas las relaciones transitivas sobre $\Bbb N$ es $\mathfrak c$

Question

¿Cómo puedo demostrar la siguiente afirmación? Tengo una idea de cómo llegar hasta aquí, pero necesito una explicación más detallada -

En primer lugar, definiré el conjunto de todas las relaciones transitivas sobre $\Bbb N$ como $T$ .

1. En primer lugar, demuestre que el número cardinal del conjunto $\mathcal P(\Bbb N\times \Bbb N) = \mathfrak c$ . Eso se hace fácilmente.
2. Definir una función : $f\colon \mathcal P(\Bbb N\times\Bbb N) \to T$ como sigue: $R$ está en $\mathcal P(\Bbb N\times \Bbb N)$ . Si $R$ es transitiva, $f(R) = R$ de lo contrario $f(R) =$ la relación transitiva más cercana que contenga $R$ .
3. Esta función divide $\mathcal P(\Bbb N\times \Bbb N)$ en diferentes partidas, según el resultado $f$ los envía. Necesito probar que el número cardinal de esos resultados es $\mathfrak c$ .
4. Hay un $1\leftrightarrow1$ función entre $T$ y el grupo de resultados de $F$ . por lo tanto, número cardinal de $T$ es igual y es $\mathfrak c$ .

No sé cómo demostrar el punto número 3.

(Perdón por mi inglés)

Answer 1

Ya sabe que sólo hay $\mathfrak{c}$ relaciones binarias en $\Bbb N$ y, por tanto, que hay como máximo $\mathfrak{c}$ de ellos que sean transitivos. Lo difícil es encontrar $\mathfrak{c}$ diferentes relaciones transitivas en $\Bbb N$ .

CONSEJO: Todo orden lineal es transitivo. Si $f:\Bbb N\to\Bbb N$ es una biyección, defina una relación $\preceq_f$ en $\Bbb N$ estableciendo $m\preceq_fn$ sólo si $f(m)\le f(n)$ .

Answer 2

Para cada $A\in\mathcal P(\Bbb N)$ podemos definir el mapa $1_A\colon \Bbb N\to\{0,1\}$ , $n\mapsto\begin{cases}1&n\in A\\0&n\notin A\end{cases}$ y luego la relación transitiva $R_A$ por $n\mathop{R_A}m\iff 1_A(n)<1_A(m)$ . Tenga en cuenta que $R_A\ne R_B$ para $A\ne B$ excepto que $R_\emptyset=R_{\Bbb N}$ .