Es $x$ un elemento algebraico sobre el campo de las funciones racionales $K(x)^p$ ?

Question

Pregunta: ¿Es $x \in K(x)$ un elemento algebraico sobre el campo $K(x)^p$ ?

Edición: Let $K$ sea un campo con char( $K)=p>0$ y que $K(x)$ sea el campo de las funciones racionales sobre $K$ .

Mi intento: Básicamente traté de responder a esto refiriéndome a:

Campo $K (x)$ de funciones racionales sobre $K$ el elemento $x$ no tiene $p$ raíz.

Supongamos por el contrario que $x$ es algebraico sobre $K(x)^p$ y así $x$ es una raíz de algún $p$ -polinomio de grado tal que; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

Aquí vemos la contradicción ya que los grados de $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ y $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$ .

Estoy totalmente perdido en esto, he estado usando la 4ª edición de Álgebra Abstracta de Beachy y apenas se menciona el campo de los racionales. Cualquier pista o sugerencia sobre recursos donde pueda encontrar más información sobre el campo de los racionales sería muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

$x$ es de hecho algebraico sobre $K(x)^p$ (tenga en cuenta los comentarios a la pregunta, sólo necesitamos que $x^p\in K(x)^p$ . Creo que puede ser confuso para usted en qué anillo estamos tratando de encontrar polinomios que tienen $x$ como raíz. Para evitar este problema de notación, llamemos a $F:=K(x)^p$ .

Ahora $x$ es algebraico sobre $F$ si existe algún polinomio $g\in F[Y]$ s.t. $g(x)=0$ . Veamos el polinomio $g=Y^p-x^p$ . Sabemos que $x^p\in F$ Así que $g\in F[Y]$ . Claramente también $g(x)=x^p-x^p=0$ Así que $x$ es algebraico sobre $F$ .

Answer 2

Estoy asumiendo a lo largo de que usted quiere decir para $K$ tener características $p>0$ . Tal vez te lance la posibilidad de que $K$ no es perfecto, en cuyo caso $\bigl(K(x)\bigr)^p$ es diferente de $K(x^p)$ . Pero no te preocupes: a nuestros efectos, no importa.

Consideremos su campo $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$ en el que hay un elemento $x^p$ . Llamaré a este elemento $t$ . Observamos que existe un isomorfismo de campo $\varphi:K(x)\to\mathscr L$ por $\varphi(f)=f^p$ . Y la imagen del elemento $x$ de $K(x)$ es $t\in\mathscr L$ igual que $x$ no tiene $p$ -th raíz en $K(x)$ Así que $t$ no tiene $p$ -th raíz en $\mathscr L$ . Así, el $\mathscr L$ -polinomio $X^p-t$ es irreducible ( $\dagger$ ). Tiene una raíz de respaldo en $K(x)$ Sin embargo, a saber $x$ . Y ya está.

( $\dagger$ ) He utilizado el hecho de que en un campo $k$ de característica $p$ , $X^p-b$ tiene una raíz en $k$ o es $k$ -irreducible.