Evaluación de la integral de una distribución normal

Question

Cómo se puede demostrar que $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{2.92}e^{-x^2/2}dx=0.99825$$

Answer 1

Tenga en cuenta que el Integral gaussiana

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2 / 2} dx = 1$$

puede calcularse directamente, por lo que es un poco más fácil intentar aproximar

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{2.92}^{\infty} e^{-x^2/2} dx$$

Debido al rápido decaimiento de la función exponencial, es una estimación bastante buena calcular simplemente

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{2.92}^{10} e^{-x^2/2} dx$$

que puede aproximarse como $0.00175$ (utilizando tu método numérico favorito, por ejemplo, la regla de Simpsons). Para estimar el error que implica esta aproximación, observa que

$$\int_{10}^{\infty} e^{-x^2/2} dx < \int_{10}^{\infty} e^{-5x} dx \sim 10^{-22}$$

donde hemos utilizado que $x^2 > 10x$ para $x > 10$ .