Demuestre que la distancia más corta entre dos aristas opuestas de un tetraedro es $\frac{2a}{\sqrt{6}}$ .

Question

El tetraedro está formado por los planos
$ y+z=0$ ,
$z+x=0$ ,
$x+y=0$ y
$x+y+z=a$

No soy capaz de visualizar los lados que constituirán el tetraedro, por lo que no puedo averiguar qué aristas estarán opuestas entre sí. Por favor, ayúdame a entender la formación del tetraedro.

Answer 1

Sin necesidad de dibujar un croquis, puedes deducir la ecuación de las rectas que contiene cada una de las aristas. Cada arista proviene de dejar que un par de lados se crucen; por lo tanto, hay exactamente $\binom{4}{2} = 6$ bordes.

Por ejemplo, si se consideran las caras $x+y = 0$ y $y+z=0$ y llamar al borde $AB$ cuando dejas que esas caras se crucen, entonces la ecuación de la línea que contiene a $AB$ será $$\begin{gather} x+y=0 \\ y+z = 0 \end{gather}$$ Cuando resuelvas esto, obtendrás la ecuación paramétrica $AB: (t,-t,t), t\in\mathbb{R}.$

También queremos que el lado opuesto, por lo que el borde opuesto $CD$ tendrá la ecuación: $$\begin{gather} x+z = 0 \\ x+y+z = a \end{gather}$$ Esto es paramétricamente $CD: (p, a, -p), p\in\mathbb{R}.$ Por último, si conectamos calcular la distancia entre dos puntos en $AB$ y $CD$ Lo será: $$d^2(t,p) = (t-p)^2+(a+t)^2+(t+p)^2=3t^2+2at+2p^2+a^2$$

y queremos minimizarlo sobre $(t,p)\in\mathbb{R}^2.$ Resolviendo para los puntos críticos, obtenemos $6t+2a = 0$ y $p=0.$ Por lo tanto, el mínimo se alcanza en $(t^*, p^*) = (-a/3, 0)$ donde la distancia sería $$d(-a/3, 0) = \sqrt{a^2/9 + 4a^2/9+a^2/9} = \dfrac{2a}{\sqrt{6}}.$$

Answer 2

La forma "fácil" de visualizar el tetraedro es hacer un cambio de coordenadas: $$X=z+y\\Y=z+x\\Z=x+y\\x+y+z=(X+Y+Z)/2$$ En este nuevo sistema de coordenadas los lados son los $X=0$ , $Y=0$ , $Z=0$ y el plano que interseca cada eje en $2a$ . Tu tetraedro original es similar a este, rotado $45^\circ$ dos veces

Answer 3

Al principio, puede analizarse sobre todo algebraicamente.

Supongamos que $a > 0$ .

Primero encuentra los vértices . . .

Para encontrar un vértice, seleccione $3$ de la $4$ y resuelve el sistema.

Hágalo para cada elección de $3$ ecuaciones de la $4$ dadas.

Si lo haces correctamente, deberías obtener vértices $$A=(0,0,0),\;B=(a,a,-a),\;C = (a,-a,a),D = (-a,a,a)$$

A continuación, consideremos pares de aristas disjuntas.

Existen $3$ pares $$(AB,CD),\;(AC,BD),\;(AD,BC)$$ de aristas disjuntas.

Observando la simetría algebraica de los puntos $B,C,D$ se deduce que todos $3$ pares de aristas disjuntas tienen la misma distancia mínima entre ellas, por lo que sólo hay un par, $(AB,CD)$ hay que tenerlo en cuenta.

Tenga en cuenta que la cara $BCD$ es un triángulo equilátero de aristas $2a$ y las aristas de $A$ tienen longitud $a\sqrt{3}$ .

Se necesita un poco de visualización. . .

Dibuja un tetraedro de base equilátera de longitud de arista $2a$ y dibujar el vértice restante centrado "por encima" de la base, equidistante, con distancia $a\sqrt{3}$ a partir de los vértices de la base.

Por simetría, el punto de la arista $CD$ que está más cerca de la arista $AB$ es el punto medio, $P$ digamos, de borde $CD$ .

Así que queremos que la distancia mínima de $P$ al borde $AB$ .

Por la fórmula del punto medio, $P = (0,0,a)$ por tanto, por la fórmula de la distancia, triángulo $ABP$ tiene longitudes de arista $$AB = a\sqrt{3},\;AP = a,\;BP=a\sqrt{6}$$

Por la ley de los cosenos, el ángulo $APB$ es obtusa, por lo que la altitud desde $P$ al borde $AB$ línea de golpes $AB$ en un punto fuera del borde $AB$ .

Sigue la distancia mínima de $P$ hasta un punto en el borde $AB$ es la distancia desde $P$ à $A$ que es $a$ .

Por tanto, si por distancia mínima entre dos aristas se entiende la distancia mínima entre dos puntos que se encuentran realmente en las respectivas aristas, la respuesta es $a$ .