¿Qué haces cuando te quedas atascado?

Question

Estoy bastante seguro de que casi todos los matemáticos han estado en una situación en la que encontraron un problema interesante; pensaron en muchas ideas diferentes para abordar el problema, pero en todas estas ideas, faltaba algo, ya sea la parte "intermedia" del argumento o la parte "final" del argumento. Estaban atascados y no podían averiguar qué hacer.

1. En una situación así, ¿qué haces?
2. ¿Es la razón de la "parte faltante" la incompletitud en la teoría del tema al que está relacionado el problema? ¿Qué se puede hacer para encontrar la "parte faltante"?

Para profesores en la ruta de obtención de la tenencia, quizás esto no sea un gran problema porque tienen "suficiente" tiempo y pueden dejar que el problema "fermente" en su mente, pero ¿qué pasa con las posiciones de tiempo limitado, por ejemplo, estudiantes de doctorado, posdoctorados, etc., donde el estudiante/empleado tiene que demostrar su capacidad para hacer investigación "independiente" para que puedan ser contratados para su próximo puesto? Creo que para estas personas es un problema bastante grande porque realmente no pueden permitirse pasar mucho tiempo pensando en el mismo problema.

Answer 1

Lee más papers relacionados con tu problema. Puedes encontrar inspiración, o tropezar con una demostración exactamente de lo que estás buscando. También podría ser que aprendas alguna técnica en una demostración.

Recientemente me di cuenta de que la demostración de algo que necesitaba ya estaba probada en un paper anterior mío, pero en realidad no estaba declarada en el teorema (ya que no conocía esa aplicación particular en ese momento).

Answer 2

El único consejo genérico que se puede ofrecer aquí es que decidir qué hacer en esta situación es una habilidad bastante difícil, pero que se espera que desarrolles como estudiante de doctorado. Es posible que finalmente tengas que pensar en el análisis de "costo-beneficio".

¿El tiempo y la energía que dedicarías a seguir trabajando en este problema probablemente valgan la pena? ¿O podrías decir "Aprendí mucho trabajando en esto" pero seguir adelante ya que probablemente no valdrá la pena seguir con ello?

Como conoces el área, el problema y las técnicas, probablemente seas el único que pueda responder esa pregunta de manera definitiva, pero si tienes dudas asegúrate de discutirlo con tu supervisor.

Finalmente, creo que esta pregunta sería mucho más adecuada para Academia Stack Exchange (donde creo que de todos modos hay algunos matemáticos que podrían estar mejor posicionados para responder tal pregunta).

Answer 3

No cambia mucho con la antigüedad: no cambiamos repentinamente nuestros hábitos después de una década de trabajo.

Nuestro trabajo es y siempre ha sido avanzar en la ciencia. Dado que los problemas más importantes sin resolver tienden a ser también los más conocidos, generalmente significa que estamos casi (¡pero no siempre!) perpetuamente atascados en los problemas que realmente queremos resolver.

Prácticamente, esto significa que pasamos la mayor parte de nuestro tiempo tratando de obtener ideas que nos ayudarán en algunos problemas importantes. Por lo tanto, cuando estamos atascados, 1) creamos problemas de juguete que encapsulan algunas de las dificultades 2) buscamos generalizaciones que eliminarían distracciones 3) leemos más, o hablamos con otros con la esperanza de ampliar nuestro conocimiento 4) trabajamos en algo más para evitar caer en bucles infructuosos.

Sin embargo, siempre recordamos los problemas que debemos, eventualmente, resolver.

Answer 4

Mi experiencia personal: ayuda escuchar algunas charlas, no necesariamente relacionadas directamente con tu problema, idealmente no en línea, para luego poder discutirlas con alguien. Trata de encontrar analogías, incluso superficiales, entre más inesperadas mejor. No se trata solo de pensar fuera de la caja, lo más importante es que alguien podría estar "cavando desde el lado opuesto" por lo mismo que tú buscas.

Answer 5

A veces es bueno mantener el problema en el fondo de tu mente mientras haces otras cosas que parecen irrelevantes. Aquí está el relato de Stanislaw Ulam sobre la invención del Método de Monte Carlo - de Los Alamos Science Special Issue 1987. Cualquier cosa puede sugerir una forma de abordar tu problema.

Los primeros pensamientos y intentos que hice ... fueron sugeridos por una pregunta que se me ocurrió en 1946 mientras me recuperaba de una enfermedad y jugando al solitario. La pregunta era ¿cuáles son las posibilidades de que un solitario Canfield, dispuesto con 52 cartas, salga con éxito? Después de pasar mucho tiempo tratando de estimarlas mediante cálculos combinatorios puros, me pregunté si un método más práctico que el "pensamiento abstracto" no sería colocarlo digamos cien veces y simplemente observar y contar el número de jugadas exitosas. Esto ya era posible de imaginar con el comienzo de la nueva era de las computadoras rápidas, y de inmediato pensé en problemas de difusión de neutrones y otras cuestiones de física matemática, y más en general cómo cambiar procesos descritos por ciertas ecuaciones diferenciales en una forma equivalente interpretable como una sucesión de operaciones aleatorias. Más tarde ... describí la idea a John von Neumann y comenzamos a planificar cálculos reales."