¿Qué haces cuando te quedas atascado?

Question

Estoy bastante seguro de que casi todos los matemáticos han estado en una situación en la que encontraron un problema interesante; pensaron en muchas ideas diferentes para abordar el problema, pero en todas estas ideas, faltaba algo, ya sea la parte "intermedia" del argumento o la parte "final" del argumento. Estaban atascados y no podían averiguar qué hacer.

1. En una situación así, ¿qué haces?
2. ¿Es la razón de la "parte faltante" la incompletitud en la teoría del tema al que está relacionado el problema? ¿Qué se puede hacer para encontrar la "parte faltante"?

Para profesores en la ruta de obtención de la tenencia, quizás esto no sea un gran problema porque tienen "suficiente" tiempo y pueden dejar que el problema "fermente" en su mente, pero ¿qué pasa con las posiciones de tiempo limitado, por ejemplo, estudiantes de doctorado, posdoctorados, etc., donde el estudiante/empleado tiene que demostrar su capacidad para hacer investigación "independiente" para que puedan ser contratados para su próximo puesto? Creo que para estas personas es un problema bastante grande porque realmente no pueden permitirse pasar mucho tiempo pensando en el mismo problema.

Answer 1

Aquí hay una respuesta que puede ser específica de matemáticas: Si te encuentras atascado en alguna demostración de alguna afirmación que crees que es verdadera:

Agrega la pieza faltante como suposición y continúa según lo planeado.

Answer 2

Un poco de budismo parece ir bastante lejos aquí, parece.

Hay una ligera diferencia entre estar atascado y obsesionado.

Como dice el refrán, hacer lo mismo una y otra vez y esperar un resultado diferente es la definición de locura.

Entonces, si por atascado quieres decir intentar obsesivamente quitar un solo obstáculo a pesar de que no está listo para moverse, no estoy tan seguro del valor de esto.

Por otro lado, si por atascado quieres decir que estás agregando más y más detalles alrededor del obstáculo para "suavizarlo", entonces este es un proceso bastante saludable.

Menciono el budismo, porque "está atascado" es mucho más saludable que "estoy atascado" (aunque un budista puede que ni siquiera reconozca que algo está atascado en absoluto). Los matemáticos están un poco demasiado obsesionados con el "yo", y esto crea una angustia emocional y parálisis indebida. Como mencionas, esta situación es mucho peor para aquellos que no tienen la suerte del tiempo. Esto crea una situación muy triste, porque estar todo apretado de esta manera realmente afecta la habilidad de relajarse y percibir lo que está justo frente a ti. En lugar de crecer naturalmente un punto de vista, terminas golpeándote sin cesar por tratar de meter un bloque cuadrado repetidamente en un agujero redondo.

Si dejas de tomar las cosas tan en serio, descubrirás que es suficiente ocuparte del problema y el obstáculo fluidamente, y disfrutar del proceso de explorar alrededor del obstáculo. Un buen problema brinda muchas oportunidades para hacer esto.

Puedes preguntarte qué constituye un buen problema, incluso. Perseguir obstinadamente los elogios de resolver un problema difícil se ve un poco tonto si te alejas lo suficiente, especialmente cuando se contrasta con disfrutar del desarrollo de una estructura impresionante que está "madura", por así decirlo.

Tengo la impresión de que demasiadas personas están enamoradas de la idea de ser matemáticos, más que de las matemáticas en sí. Si investigas honestamente la calidad de tu experiencia haciendo matemáticas, tal vez sea hora de tomar un descanso, o un cambio de carrera, o un cambio de problema. Las buenas matemáticas se supone que son divertidas. ¡Creo que olvidamos esto con demasiada frecuencia!

Respecto a la trayectoria profesional, hay realidades económicas que considerar. Todos sienten que su trabajo/investigación/contribución debería ser valiosa para el desarrollo de su materia. Esto es ciertamente cierto, pero creo que tendemos a sobrevalorar nuestras propias contribuciones. En el gran esquema de las cosas, solo algunos de nosotros encontraremos una dirección lo suficientemente fructífera como para sostener una carrera en la investigación. (Yo no soy uno de ellos, aunque he tenido algunas ideas gratificantes.) Si pones el "yo" en segundo plano, esto es más fácil de aceptar. Tal vez, a pesar de tu interés en obsesionarte con un problema, ¿sería mejor gastar tu esfuerzo en otra parte? ¿Quizás te ajustas al mundo de manera diferente de lo que planeas? Irónicamente, aceptar esta realidad puede ser la mejor manera de "desatascar" en tu problema.

Una vez estaba hablando con Peter Jones de Yale acerca de este tipo de cosas. Estaba hablando con él sobre lo duro que estaba trabajando en tal y tal cosa y cómo tenía que aprender a hacer esto y aquello mejor y cambiar mi enfoque de cierta manera. Peter me dijo: "¡Es curioso, yo siempre hice lo que me gustaba!" Me di cuenta después de que había una realidad grave en esto. Él simplemente encajaba en su parte del mundo matemático un poco más naturalmente que el resto de nosotros. Toda su experiencia quizás lo llevó naturalmente a donde estaba. Otros, como yo, lo estábamos forzando.

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Edición:

Aquí hay un Koan Zen:

Un monje le preguntó a Tozan, "¿Cómo podemos escapar del frío y el calor?" Tozan respondió: "¿Por qué no ir a donde no hay frío ni calor?" "¿Hay un lugar así?", preguntó el monje. Tozan comentó: "Cuando tengas frío, sé completamente frío; cuando tengas calor, sé caliente hasta la médula".

Así que hay una respuesta a la pregunta del OP similar al Koan anterior:

Cuando estés atascado, estás completamente atascado.

Answer 3

Un algoritmo estocástico que a veces funciona para mí:

1. Tomar "Cómo resolverlo" de Pólya de la estantería de libros.

2. Abrir una página al azar y leer unas cuantas páginas.

3. Intentar resolver el problema nuevamente.

Answer 4

Creo que hay buenos consejos sobre cómo llevar a cabo una investigación en "The Mathematician's Art of Work" de J.E. Littlewood, incluido en Littlewood's miscellany, CUP, 1986.

"Un sine qua non es una intensa curiosidad consciente sobre el tema, con un deseo de ejercitar la mente en él, muy similar al hambre física ... Dada la fuerte motivación, se comunica de alguna forma al subconsciente, que realiza todo el trabajo real, y parece estar siempre en funciones. Sin la motivación, uno se atasca."

"Depresiones menores ocurrirán, y la mayor parte de la vida de un matemático se pasa en frustración, interrumpida por raras inspiraciones. Un principiante no puede esperar resultados rápidos; si son rápidos, es bastante probable que sean malos."

Littlewood incluye una sección sobre estrategia de investigación, demasiado extensa para citar aquí, que considero que vale mucho la pena leer.

Answer 5

En mi experiencia, un aspecto clave para evitar quedarse atascado es la elección del problema en primer lugar. Con un buen proyecto, hay muchas preguntas o cálculos más pequeños que se pueden hacer cuando te quedas atascado en un punto particularmente difícil con el proyecto principal. Hacer estas tareas puede que no resuelva tu problema particular, pero aún son horas de investigación productivas.

Por supuesto, elegir buenos problemas es una habilidad difícil y requiere mucha práctica. Aquí hay algunas pautas que me han resultado útiles.

1. Elige un problema en el que creas que puedes hacer algún progreso, en lugar de uno que realmente te gustaría resolver. En particular, generalmente es una buena idea minimizar cuán "ingenioso" necesitas ser para avanzar. Intentar llegar a una gran idea nueva es una apuesta de alto riesgo y alta recompensa y generalmente no es recomendable a menos que tengas una buena razón para creer que tendrás éxito. (1a. Personalmente, aprender esta habilidad me obligó a dejar de lado mi ego y adoptar un enfoque más profesional hacia las matemáticas, en el que producir investigación es mi trabajo. Con demasiada frecuencia, la cultura matemática vincula el valor de las personas con su capacidad de investigación, y desvincularme conscientemente de esto me fue de gran ayuda.)

2. Continuando con el consejo anterior, una vez que tengas un conjunto establecido de herramientas, a menudo es posible encontrar preguntas donde estas técnicas pueden aplicarse. Esto puede ser una fuente de frutos relativamente fáciles de alcanzar, porque es posible aplicar ideas familiares en un nuevo entorno. (2a. Una fuente de problemas particularmente buena proviene de documentos que relacionan varias áreas diferentes de las matemáticas. A menudo, tener experiencia en un área proporciona las ideas para resolver problemas que surgen en estos trabajos. Por lo tanto, vale la pena leer estos documentos.)

3. Con un buen proyecto, a menudo hay muchas oportunidades para demostrar resultados más pequeños. Por ejemplo, a menudo es posible refinar resultados existentes o establecer estimaciones cuantitativas utilizando técnicas existentes, y esto puede ser una actividad fructífera cuando te quedas atascado. Personalmente, tiendo a preferir proyectos con un aspecto cuantitativo en lugar de intentar demostrar resultados cualitativos novedosos. La razón es que incluso si fallo en mi tarea principal, aún podría ser posible mejorar algún épsilon de $\frac{1}{100}$ a $\frac{1}{10}$ y hacer algunos pequeños avances.

4. Puede ser tentador atacar un problema sin cesar (y yo ciertamente soy culpable de esto), pero también es una habilidad matemática comprender cuándo los métodos que estás utilizando no pueden resolver el problema en cuestión. Por lo tanto, cuando llegues a un punto muerto, vale la pena comprender realmente las fortalezas y limitaciones de tus técnicas para determinar si es simplemente un problema técnico que puedes resolver o una dificultad fundamental. Por lo tanto, aprender cuándo abandonar un problema, al menos temporalmente, es una habilidad invaluable.

5. (Adición, como se solicitó) Considera qué ventaja tienes sobre otros matemáticos al trabajar en este problema. Podría ser que pienses que tienes la combinación correcta de conocimientos o hayas hecho algunos cálculos que crees que nadie más ha hecho. Podría ser simplemente que nadie más ha dedicado mucho tiempo al problema, o que nadie más tiene la combinación correcta de tiempo para dedicar y acceso a tu asesor. Podría ser que a nadie más le importe este problema. (Esperemos que sea porque crees que hay alguna razón para preocuparse por este problema que otros no han comprendido). Pero si piensas que la Persona X es mejor resolviendo este problema que tú desde todos los ángulos, y crees que la Persona X ha trabajado en este problema pero no lo ha resuelto, entonces probablemente hay una razón por la que no sabes por qué la Persona X no lo ha resuelto, y probablemente terminarás encontrándote también con ella.

Siéntete libre para que cualquier otra persona añada consejos sobre cómo eligen problemas de investigación para minimizar la probabilidad de quedarse atascado.