Calcula la probabilidad de que tengas exactamente tres trabajos en tu vida.

Question

Por término medio, las personas nacidas entre 1957 y 1964 tuvieron una media de doce empleos entre los 18 y los 52 años. Estima la probabilidad de que tengas exactamente tres trabajos a lo largo de tu vida. Sugerencia: modelízalo como una variable de Poisson.

Mi intento

Modelando como una distribución de Poisson, tenemos $X\sim Poisson(\lambda)$ . A partir del problema, se nos da $\mathbb{E}[X]=12=\lambda$ . Entonces, la probabilidad de que tenga tres empleos es $$\mathbb{P}(X=3)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-12}\frac{12^3}{3!}=0.00177$$

Lo que me preocupa es que la probabilidad es tan pequeña que no estoy seguro de haberlo hecho correctamente. No parece probable que la probabilidad de tener tres trabajos en tu vida sea sólo una entre mil. ¿Alguien puede verificarlo o decirme en qué me he equivocado? Muchas gracias.

Answer 1

Sí... una distribución de Poisson tendrá una moda en torno a su media y todo lo que no sea su media tendrá una probabilidad menor.

Este es el aspecto del pf para $\text{Poisson}(\lambda=12)$ para la primera $21$ valores de $x$

Para encontrar la moda se puede examinar la relación $$\frac{Pr(X=x+1)}{Pr(X=x)}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x+1}}{(x+1)!}\cdot \frac{x!}{e^{-\lambda}\lambda^x}=\frac{\lambda}{x+1}$$

Por tanto, la probabilidad aumenta cuando $x+1<\lambda$ y a partir de cierto punto la probabilidad empieza a disminuir cuando $x+1>\lambda$ (porque $x$ es monotónicamente creciente). Si $\lambda$ es un número entero, los modos estarán en $\lambda-1$ y $\lambda$ (¡lo que ocurre en la imagen de abajo!) y si $\lambda$ es no integral entonces el modo ocurre en $\lfloor \lambda \rfloor$

Para $\lambda=12$ hay modos en $11, 12$ y cualquier cosa en las colas tiene menor probabilidad (incluyendo $x=3$ )