Límites superior e inferior de la intersección de probabilidades

Question

¿Cómo puedo responder a la siguiente pregunta?

Dados dos sucesos A,B con (A) = 3/4 y P(B) = 1/3, ¿cuál es el menor valor posible de P(A $\cap$ B)? ¿La mayor? Es decir, a y b tales que, $$a \leq P(A \cap B) \leq b,$$ y cualquier valor en el intervalo cerrado [a,b] es posible.

a = ? b = ?

A continuación se muestra una imagen de lo que creo que es el área sombreada de interés. ¿Es correcto? Si es así, entonces es la probabilidad 1/4 x 2/3 = 1/6. ¿En cuyo caso, a = 1/4 y b = 2/3?

Answer 1

Un diagrama de Venn podría ser útil.

En este caso,

$\max P(A\cap B)=\min(P(A),P(B))=\frac13$

$\min P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1=\frac1{12}$ (principio de inclusión-exclusión)

Answer 2

Desde $P(A \cap B) \le P(A) = \frac34$ et $P(A \cap B) \le P(B)=\frac13$ debes tener $P(A \cap B) \le \frac13$

Mientras tanto $P(A \cup B) \le 1$ et $P(A)+P(B)=\frac{13}{12}$ por lo que debe tener $P(A \cap B) \ge \frac1{12}$

Si quieres visualizarlo, prueba algo como esto

Answer 3

En cuanto al mayor valor tenemos $P(A\cap B)\leq\min(P(A),P(B))$ y tomando $A\subseteq B$ o $B\subseteq A$ (al menos una de las opciones está abierta) nos encontramos con que: $$\min(P(A),P(B))$$ es efectivamente posible como valor de $P(A\cap B)$ por lo que es el valor más grande.

Respecto al valor más pequeño tenemos $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ por lo que se conseguirá si $P(A\cup B)$ es máxima. Eso conduce al valor: $$P(A)+P(B)-\min(1,P(A)+P(B))$$ como valor mínimo.