Teoremas conocidos que no se han demostrado

Question

Creo que hay numerosos teoremas matemáticos difíciles para los que sólo existe un esbozo de demostración. Para cumplir las normas de rigor, todavía no se ha establecido una demostración completa de estos teoremas. He aquí un ejemplo de teorema que, hasta donde yo sé, entra en esta categoría:

Teorema (Sullivan). Una variedad topológica de dimensión $n\neq 4$ admite una única estructura de Lipschitz.

El artículo original de Sullivan [S] es una breve nota de 13 páginas publicada en las actas de una conferencia. Contiene una plétora de ideas, pero apenas pruebas. Sin embargo, el documento es ampliamente reconocido como una fuente para la demostración del resultado anterior.

No soy el único que ha tenido problemas con este documento. Tukia y Vaisala [TV] escribieron un artículo de 40 páginas cuyo objetivo era comprender algunos de los argumentos de Sullivan. Sin embargo, escribieron en la introducción:

Dado que la presentación en [S] es muy esquemática, gran parte de este artículo se dedica a una exposición bastante detallada de la teoría de Sullivan. Nos tomamos con fe la parte más difícil, a saber, la existencia de grupos de Sullivan.

Soy reacio a aceptar la fe como argumento matemático y, por tanto, soy reacio a aceptar que el documento [S] contenga la demostración del teorema, así que, a menos que exista una demostración detallada en algún otro lugar, creo que el resultado anterior es un ejemplo de un teorema que aún no se ha demostrado. Si estoy equivocado, por favor, facilite las referencias correctas.

Pregunta. ¿Cuáles son los otros ejemplos de tales resultados?

[Sullivan, D.: Geometría hiperbólica y homeomorfismos. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 543-555, Academic Press, Nueva York-Londres, 1979.

[Tukia, P.; Väisälä, J.: Aproximación y extensión lipschitz y cuasiconforme. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 6 (1981), no. 2, 303-342 (1982).

Answer 1

Esto no pretende ser una respuesta a la OP, sino una explicación del teorema de existencia para las "variedades de Sullivan", que es el paso crítico omitido en el artículo de Tukia y Väisälä. Véase también la Observación 12 aquí . Los colectores de Sullivan son compactos casi paralelizables $n$ -dimensionales hiperbólicas.

La existencia de "variedades de Sullivan" (en todas las dimensiones) se deduce de los resultados de un artículo de Boris Okun:

Okun, Boris , Mapas tangenciales de grado cero entre espacios simétricos duales Algebr. Geom. Topol. 1, 709-718 (2001). ZBL1066.53100 .

Advertencia 1. Si lees el artículo de Okun, el resultado sobre las variedades hiperbólicas no aparece en ninguna parte. Pero su resultado implica que para toda hiperbólica compacta $n$ -manifold $M$ existe un recubrimiento de lámina finita $M'\to M$ y un mapa suave de grado 1 $f: M'\to S^n$ tal que $f^*(TS^n)=TM'$ (establemente). Lo ideal sería comprobar con Okun que mi lectura de su teorema es correcta. De ello se deduce que $M'$ es casi paralelizable (ya que $S^n$ es), es decir, eliminar un punto de $M'$ resulta en un colector paralelizable.

Advertencia 2. El artículo de Okun (así como el argumento original de Sullivan) dependen críticamente de un artículo de Deligne y Sullivan:

Deligne, Pierre; Sullivan, Dennis , Fibras vectoriales complejas con grupo estructural discreto C. R. Acad. Sci., París, Sér. A 281, 1081-1083 (1975). ZBL0317.55016 .

El argumento expuesto en este documento de 3 páginas es bastante esquemático. Sin embargo, en el capítulo 11 de

Friedlander, Eric M. , Homotopía etale de esquemas simpliciales Anales de Estudios Matemáticos, 104. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press y University of Tokyo Press. VII, 190 p. (1982). ZBL0538.55001 .

---

Una pregunta relacionada con el modus operandi: Múltiplos hiperbólicos casi paralelizables

Answer 2

No estoy seguro de que esto pueda considerarse "bien conocido".

De todas formas, en teoría de conjuntos, en el estudio del cálculo de particiones (generalizaciones transfinitas del teorema de Ramsey), el esfuerzo se centró durante un tiempo en estudiar relaciones de la forma $$ \omega^m\to(\omega^n,k)^2 $$ para $m,n,k$ enteros positivos. Aquí, la exponenciación es en sentido ordinal. Esta relación se cumple si y sólo si cualquier grafo sobre un conjunto de vértices de orden tipo $\omega^m$ o bien contiene un subgrafo completo con un conjunto subyacente de vértices de tipo de orden $\omega^n$ o bien contiene una copia del grafo vacío en $k$ vértices (como subgrafo inducido).

Los resultados de los años 50 y 60 "redujeron" muchas de estas cuestiones a problemas de combinatoria finita, todos ellos resolubles algorítmicamente (aunque mediante algoritmos completamente irrealizables). Así pues, se sospechaba que existía una reducción general de este tipo. Esto es lo que se muestra en este artículo:

MR0332507 (48 #10834) zbMATH 0384.05011 Milner, E. C. Un algoritmo finito para el cálculo de partición. En Proceedings of the Twenty-Fifth Summer Meeting of the Canadian Mathematical Congress (Lakehead Univ., Thunder Bay, Ont., 1971) , pp. 117-128. Lakehead Univ., Thunder Bay, Ont., 1971.

Es un artículo muy bueno, con muchos ejemplos e ideas útiles. Desgraciadamente, no contiene un algoritmo ni una prueba. Con un poco de esfuerzo, se puede extraer uno de los ejemplos, que fueron elegidos muy cuidadosamente con este objetivo en mente, pero, que yo sepa, ni una descripción explícita ni los detalles pertinentes han aparecido impresos. De hecho, hay varios resultados en el cálculo de particiones que se anunciaron hace décadas pero cuyos detalles nunca se publicaron. (En los últimos años he dedicado algún tiempo a un estudio con la esperanza de subsanar algunas de estas lagunas. Los resultados que he comprobado son todos correctos, pero estaría muy bien disponer de pruebas en la literatura).