Sea $G$ sea abeliano, $H$ y $K$ subgrupos de órdenes $n$ , $m$ . Entonces G tiene subgrupo de orden $\operatorname{lcm}(n,m)$ .

Question

Sea $G$ sea abeliano, $H$ y $K$ subgrupos de órdenes $n$ , $m$ . Entonces G tiene subgrupo de orden $\operatorname{lcm}(n,m)$ .

Esta es una afirmación que mi profesor mencionó en mi clase de Álgebra Abstracta (para principiantes). No estoy seguro de entender por qué es cierta.

Lo que tengo hasta ahora: Usar el teorema de estructura de grupo abeliano en $\langle H, K\rangle$ (grupo finito generado por $H$ y $K$ ). Entonces $\langle H,K\rangle=C_{a_1}C_{a_2}\dotsm$ y $n, m |\langle H,K\rangle$ . Lo que significa que también es cierto que $\operatorname{lcm}(n,m)|\langle H,K\rangle$ . ¿Puedo aprovechar esto para decir que hay un subgrupo de orden $\operatorname{lcm}(n,m)$ ?

Answer 1

Desde $|H\cap K|$ divide $|H|$ y $|K|$ divide ${\rm gcd} (|H|,|K|)$ Así que ${\rm gcd} (|H|,|K|)=a|H\cap K|$ para algún número entero $a$ . Además, $$ |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=\frac{|H||K|a}{{\rm gcd} (|H|,|K|)}={\rm lcm} (|H|,|K|)a. $$ Ahora hay que utilizar la aserción: si $G$ es abeliano y $n$ divide $|G|$ entonces $G$ tiene un subgrupo de orden $n$ . Por lo tanto $HK$ tiene un subgrupo de orden ${\rm lcm} (|H|,|K|)$ .