Estoy trabajando en una situación en la que un objeto $A$ en movimiento golpea un objeto inmóvil $B$ y ambos intercambian su impulso. Objeto $A$ se dibuja como una caja para simplificar, pero se entiende como algo parecido a una flecha que potencialmente puede atravesar el objeto $B$ cediendo parte de su impulso, pero continuando más allá del objeto $B$ .
Como en la ilustración que he hecho, y con lo dicho anteriormente, esto puede ocurrir de tres formas diferentes (Hay una cuarta pero no me interesa):
- (Escenario X) Objeto $A$ se pega al objeto $B$ y los dos se mueven juntos
- (Escenario Y) Objeto $A$ atraviesa $B$
- (Escenario Z) Objeto $A$ golpea el objeto $B$ y retrocede (dando $A$ velocidad y momento negativos)
Partiendo de la conservación del momento, se pueden establecer ecuaciones que gobiernen cada escenario.
La cuestión es: manteniendo constantes todas las condiciones iniciales, ¿qué escenario impartiría la mayor velocidad final, y por tanto momento, al objeto $B$ ?
Sé cómo encontrarlo desde la perspectiva de la física, de forma cualitativa. Pero para divertirme, quiero mostrarme la forma matemática rigurosa de cómo esto es cierto.
La mayor parte es muy sencilla:
- Establece las ecuaciones de momento para cada escenario
- Ordena cada ecuación de forma que se resuelva para $B$ velocidad final $v_{bf}$
- Analiza las tres expresiones para esta velocidad para averiguar las desigualdades entre ellas.
He completado los dos primeros pasos para ceder:
- (Escenario X) $$\frac{mv_{ai}}{m+M} = v_{bf}$$
- (Escenario Y) $$\frac{m(v_{ai}-v_{af})}{M}= v_{bf}$$
- (Escenario Z) $$\frac{m(v_{ai}+v_{af})}{M}= v_{bf}$$
La respuesta correcta es: $Z > X > Y $
Y puedo demostrar fácilmente que $Z > Y$ y $Z > X$ pero no puedo averiguar cómo mostrar $X > Y$ para terminar la prueba.
Gracias por su ayuda.
