¿Cómo integrar esta función racional?

Question

Evalúa: $$\int\frac{x}{x^3-x^2+1}dx$$

Ninguno de los métodos habituales para integrar funciones racionales (sustitución, fracciones parciales, etc.) parece funcionar.

Answer 1

El denominador sólo tiene una raíz real, $x_0$ . Por lo tanto,

$$x^3-x^2+1 = (x-x_0)(x^2+x(x_0-1)+x_0^2-x_0).$$

Entonces,

$$\frac{x}{x^3-x^2+1} = \frac{A}{x-x_0}+\frac{Bx+C}{x^2+(x_0-1)x+x_0^2-x_0} ,$$

que puede resolverse para $A,B,C$ :

$$A=\frac{1}{3x_0-2},$$ $$B=-A,$$ $$C=A(x_0-1),$$

hacer accesible lo integral.