Gente de matemáticas:
El título es la pregunta: ¿Qué campos se pueden utilizar para un espacio producto interior?
Esta pregunta ha sido discutida en Math Stack Exchange sin resolución definitiva. Una pregunta similar apareció aquí, y se aceptó una respuesta, pero alguien señaló un grave problema con la respuesta.
Estoy utilizando la definición estándar de producto interior, que incluye $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle > 0$ para todos los vectores no nulos $\mathbf{x}$ .
Me parece que cualquier campo de característica prima no tiene sentido, porque no tiene una relación de orden que respete la adición. También me parece que el campo $\mathbb{F}$ puede ser cualquier campo ordenado o cualquier subcampo de $\mathbb{C}$ que es estable bajo conjugación compleja (para cualquier no-algebrista como yo, la palabra "estable" parece ser estándar aquí. Cualquier otro usaría la palabra "cerrado"). No sé si son posibles otros campos. Por supuesto, un campo ordenado puede ser o no un subcampo de $\mathbb{R}$ .
Parece que es raro que la gente, incluso los matemáticos, utilicen cualquier campo que no sea $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ para un espacio de producto interior.
¿Alguien puede aclararlo?
EDIT: alguien me ha alertado sobre una página de Wikipedia que aborda esta cuestión ( http://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Definition ). Permítanme citar la parte pertinente : "Hay varias razones técnicas por las que es necesario restringir el campo base a $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ en la definición. Brevemente, el campo base tiene que contener un subcampo ordenado[cita requerida] (para que la no negatividad tenga sentido) y por lo tanto tiene que tener característica igual a 0 (ya que cualquier campo ordenado tiene que tener dicha característica). Esto excluye inmediatamente los campos finitos. El campo base tiene que tener una estructura adicional, como un automorfismo distinguido. En general, cualquier subcampo cuadráticamente cerrado de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ bastarán para este fin, por ejemplo, los números algebraicos $\ldots$ "
El artículo de Wikipedia no explica por qué el campo base tiene que tener una estructura adicional. No definen un "automorfismo distinguido" ni proporcionan un enlace a una definición. No soy algebrista. He buscado el término en Google y no he encontrado ninguna definición de "automorfismo diferenciado". He encontrado enlaces a artículos y libros que probablemente sí contengan una definición. El artículo afirma que es "necesario" restringir el campo base a $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ en la definición, pero luego se contradice al sugerir al menos que el campo base puede ser cualquier subcampo cuadráticamente cerrado de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ .
Stefan (STack Exchange FAN)
