Conjetura: Si monedas circulares de cualquier tamaño están en un marco poligonal convexo, con cada moneda tocando exactamente un borde, entonces todas las monedas pueden moverse

Question

Supongamos que unas monedas circulares (no necesariamente del mismo tamaño) están en un marco. Las monedas pueden estar inmóviles, como en este ejemplo:

Por otro lado, pueden moverse libremente, como en estos ejemplos (en los que las monedas pueden moverse simultáneamente):

Es bastante tedioso mostrar algebraicamente que las monedas pueden moverse, así que intenté encontrar algunos principios generales que nos permitan simplemente mirar diagramas como estos y saber si las monedas pueden moverse.

Conjetura: Si hay monedas circulares (no necesariamente del mismo tamaño) en un marco poligonal convexo, en el que cada moneda toca exactamente un borde, entonces todas las monedas pueden moverse.

¿Son ciertas mis conjeturas?

Observaciones sobre mi conjetura

• El marco debe ser un polígono, de lo contrario habría un contraejemplo: dos monedas en la región delimitada por $y=x^2-1$ y $y=1-x^2$ como se muestra a continuación.
• El marco debe ser convexo, de lo contrario habría un contraejemplo, como se muestra a continuación.
• Cada moneda debe tocar un borde, de lo contrario habría un contraejemplo, como se muestra a continuación.

EDITAR

Zach Teitler ha dado un contraejemplo . He propuesto una segunda conjetura que evita este contraejemplo.

EDIT2

Mi segunda conjetura también tiene un contraejemplo . He preguntado a otro pregunta preguntando por principios generales útiles para determinar si las monedas pueden moverse.

Answer 1

Lo siguiente parece un contraejemplo a la conjetura tal como se planteó originalmente, permitiendo monedas de distinto tamaño. No parece que la moneda grande, con diámetro $1-\epsilon$ puede moverse a la derecha, arriba o abajo. (Pido disculpas por el mal dibujo). (No he hecho álgebra "formal" para verificar esto, pero con sólo mirarlo, parece que es así).

Editado por OP: Aquí hay otro vistazo a su idea.

Answer 2

Se trata de confirmar que la construcción ofrecida en Respuesta de Zach Teitler funciona.

De hecho, mira esta foto:

El cuadrado aquí es $[0,1]^2$ . El círculo negro es $C(R,1/2;R)$ con centro $(R,1/2)$ y radio $R$ . Los otros cuatro círculos son $C(x,y;r)$ (Rojo), $C(u,v;s)$ (Verde), $C(X,Y;r)$ (Magenta), y $C(U,V;s)$ (Azul), donde \begin{equation*} X=x=1-r,\quad Y=1-y,\quad U=u,\quad v=1-s,\quad V=s, \end{equation*} $y\approx0.682$ es la raíz real más pequeña del polinomio $9893 - 40154 y + 74218 y^2 - 86208 y^3 + 64832 y^4 - 30720 y^5 + 8192 y^6$ , \begin{equation*} R=\frac{1}{8} \left(4 y^2-4 y+\frac{35}{8}\right)\approx0.438,\quad r=\frac5{64}\approx0.078,\quad s=\frac18=0.125, \end{equation*} y $u\approx0.859$ es la raíz real más pequeña del polinomio $256u^2-472 u+403+256 a^2-448 a$ donde a su vez $a$ es la raíz real más pequeña del polinomio $$8192 a^6-30720 a^5+64832 a^4-86208 a^3+74218 a^2-40154 a+9893.$$

Entonces cada uno de los cinco círculos toca exactamente una arista del cuadrado y los círculos están contenidos en el cuadrado. Los discos abiertos delimitados por los cinco círculos son disjuntos por pares. Además, los círculos Rojo y Verde se tocan entre sí y con el Negro, y los círculos Magenta y Azul, simétricos a ellos, también se tocan entre sí y con el Negro.

Por tanto, se cumplen todas las condiciones requeridas sobre los cinco círculos y el cuadrado.

Sin embargo, si el $10$ -tupla $(R,1/2, x, y, u, v, X, Y, U, V)$ de los centros de los cinco círculos, entonces no se cumple la condición de que todos los discos abiertos delimitados por los cinco círculos sean disjuntos y estén dentro del cuadrado.

Nota: La verificación de esta última afirmación se reduce a resolver un problema de programación lineal con $10$ incógnitas, aunque con coeficientes algebraicos bastante complicados.

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He aquí una imagen pdf de un cuaderno de Mathematica con cálculos detallados.