¿Cómo puedo continuar con la solución? Encontrar el Kernel de un espacio vectorial.

Question

Se nos da el espacio vectorial $V=F^3$ donde $F$ es un campo y se nos da $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ es una base en $V$ y $T: V \rightarrow V$ es una transformación lineal. También se nos da:
$$[T]_B=\begin{bmatrix} -1 & -1 & -3 \\ -5 & -2 & -6 \\ 2 &1 &3 \end{bmatrix}$$ Encuentre $\operatorname{Ker}(T)$ .

Esto es lo que he intentado: para $v \in V$ con $[v]_B=(a,b,c)$ obtenemos que $v$ está en el núcleo si y sólo si $[T]_B \cdot [v]_B = 0$ . Un simple cálculo muestra que el requisito es $a=0, b=-3\alpha,c=\alpha$ para algunos $\alpha \in F$ . Así obtenemos $\operatorname{Ker}(T)=\{-3\alpha \cdot v_2+ \alpha \cdot v_3 : \alpha \in F\}$ .

Esta es la respuesta más simplificada que obtuve, pero la respuesta debería ser $\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{Span}\left\{(0,-3,1)\right\}$ .

¿Puede alguien ayudarme a obtener esa respuesta? No estoy seguro de cómo continuar.

Answer 1

Has acertado. Tenga en cuenta que \begin{align}-3\alpha v_2+\alpha v_3&=\alpha(-3v_2+v_3)\\&=\alpha(0,-3,1).\end{align} Así que.., \begin{align}\{-3\alpha v_2+\alpha v_3\,|\,\alpha\in\mathbb{R}\}&=\bigl\{\alpha(0,-3,1)\,|\,\alpha\in\mathbb R\bigr\}\\&=\operatorname{span}\bigl\{(0,-3,1)\bigr\}.\end{align}