En $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ parece que no puede haber una homotopía entre la curva dada por $e^{i\theta},0\leq\theta<2\pi $ y la curva dada por $e^{i\theta}+10,0\leq\theta<2\pi $ . Pero si esto es cierto, ¿cómo se demuestra con rigor?
Respuesta
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Ivo Terek
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En $\Bbb C\setminus\{0\}$ no son homotópicas - la segunda curva es homotópica a un punto y la primera curva no lo es.
Por ejemplo, $H\colon [0,2\pi[\times [0,1] \to \Bbb C \setminus \{0\}$ dada por $H(\theta,s) = se^{i\theta}+10$ es tal que $H(\theta,0) = 10$ para todos $\theta$ y $H(\theta,1) = e^{i\theta}+10$ para todos $\theta$ .
La primera curva no es homotópica a un punto porque, digamos, la integral de línea sobre ella de la función $f(z) = 1/z$ es $2\pi i$ y no cero.
