pruebe $\lim_{n→∞}\left(\frac{∑^{n}_{k=1}k^{m}}{n^{m+1}}\right)=1/(m+1)$

Question

Tengo problemas para demostrar la siguiente ecuación:

$$\lim_{n}\left(\frac{^{n}_{k=1}k^{m}}{n^{m+1}}\right)=\frac{1}{(m+1)}$$

Bastaría con un enlace a una prueba. Muchas gracias.

Answer 1

Pista: Considera la expresión como un límite de una suma de Riemann y evalúa la integral (fácil) correspondiente.

Answer 2

Usa a Stolz-Cesaro: $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sum^n_{k=1}k^{m}}{n^{m+1}}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^m}{(n+1)^{m+1}-n^m}=\cdots$$