1+2+3+4+ y -⅛

Question

¿Hay algún significado más profundo en la siguiente derivación (o más bien familia de derivaciones de un parámetro) que asocia la serie divergente $1+2+3+4+…$ con el valor $-\frac 1 8$ (a diferencia del valor $-\frac 1 {12}$ obtenida por regularización de la función zeta)? ¿O es sólo una curiosidad?

Formalmente $x=1+2+3+4+\dotsb$ . Escribir $$x-1=(2+3+4)+(5+6+7)+\dotsb=9+18+27+\dotsb=9x$$ obtenemos $8x=-1$ . O, escribiendo $$x-1-2=(3+4+5+6+7)+(8+9+10+11+12)+\dotsb=25+50+75+\dotsb=25x$$ obtenemos $24x=-3$ . O, escribiendo $$x-1-2-3=(4+\dotsb+10)+(11+\dotsb+17)+\dotsb=49+98+147+\dotsb=49x$$ obtenemos $48x=-6$ . Etc.

No es sorprendente que los valores distintos de $-\frac 1 {12}$ pueden obtenerse como "valores" de esta serie divergente. Lo que me sorprende es que todos estos métodos de agrupación de términos dan la misma respuesta. Esto me hace preguntarme si hay aquí una historia más amplia.

Answer 1

Sí, en $p$ -adics.

Probablemente esté familiarizado con la relación

$$8T(n)+1=(2n+1)^2.$$

Ahora, para cualquier $p$ excepto $2$ (que debe excluirse debido a los coeficientes no unitarios en la relación anterior) podemos identificar una subsecuencia de números enteros $n$ tal que la cantidad al cuadrado de la derecha converge $p$ -adicalmente a cero. Entonces $T(n)$ sigue el mismo camino y converge a $-1/8$ .

Por ejemplo, podemos poner $p=3$ en cuyo caso $-1/8$ se representa como $3$ -adic entero $\overline{01}$ . A continuación, utilizando la base $3$ aritmética desarrollamos la secuencia $$\begin{align*} \newcommand\pdots{{\ldots}} & T(\pdots1)=\pdots01 \\ & T(\pdots11)=\pdots0101 \\ & T(\pdots111)=\pdots010101 \end{align*}$$

donde la base del lado izquierdo está configurada para converger a $-1/2$ (para el que el cuadrado correspondiente es cero) y el lado derecho converge entonces cuadráticamente a $-1/8$ en la subsecuencia. La convergencia cuadrática a $-1/8$ es único para ese valor objetivo debido al valor crítico del cuadrado correspondiente.

Esta convergencia cuadrática hace que los números triangulares enteros ordinarios se vean "atraídos" por el $3$ -representación radical $\overline{01}=-1/8$ . A continuación se muestra una tabla en la que las columnas representan posibles terminaciones de dos dígitos para cualquier $81$ números triangulares consecutivos en base $3$ las filas representan posibles valores para los dos dígitos anteriores y las entradas describen cuántos números triangulares del bloque de $81$ terminará con el patrón de cuatro dígitos resultante. Las combinaciones no mostradas corresponden a números triangulares no representados en base 3.

La tabla muestra que hay un exceso de números triangulares terminados en $...01$ en base $3$ ( $27/81$ frente a $18/81$ para las demás terminaciones posibles de dos cifras) y entre los números triangulares terminados en $...01$ la terminación de cuatro cifras $...0101$ está aún más sobrerrepresentada. La sobrerrepresentación de patrones que coinciden con $\overline{01}$ crece cuando cobsideramos cadenas más largas de dígitos terminales en base $3$ . Una atracción similar se observa $\overline{03}$ en $5$ -adics, $\overline{06}$ en $7$ -adics, etc.

Los números triangulares no son los únicos que tienen esta propiedad. Podemos establecer patrones similares con cualquier patrón de números poligonales, por ejemplo los números octogonales que convergen cuadráticamente a $-1/3$ y favoreciendo esa fracción en $p$ -donde el primo $p\ne3$ .

Answer 2

No está utilizando todos sumas parciales, sino sólo una elección restringida de ellas. Por tanto, en realidad no se trata del límite de todas las sumas parciales. Un análogo sería decidir calcular $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ centrándose únicamente en las sumas parciales de índice par (cada dos sumas parciales).

Para su cálculo general, suponiendo $x$ tiene sentido, elija $N \geq 1$ y restar $\sum_{j=1}^N j$ de $x$ y luego mirar sólo las sumas parciales de lo que queda utilizando múltiplos de $2N+1$ : el $(2N+1)$ -ésima suma parcial, la $(2N+1)2$ -ésima suma parcial, y así sucesivamente. Recopilación de términos $2N+1$ a la vez, centrados en los múltiplos de $2N+1$ (con $N$ términos anteriores y $N$ términos que suceden a esos múltiplos), obtenemos $$x - \sum_{j=1}^N j = \sum_{k \geq 1} \left(\sum_{i=-N}^N ((2N+1)k + i)\right) = \sum_{k \geq 1} (2N+1)^2k = (2N+1)^2x,$$ así que $$x = (2N+1)^2x + \frac{N(N+1)}{2} = (4N(N+1) + 1)x + \frac{N(N+1)}{2}.$$ Resta $x$ de ambos lados y resolver para $x$ : $$x = -\frac{N(N+1)/2}{4N(N+1)} = -\frac{1}{8}.$$

La serie $1 + 2 + 3 + \cdots$ no es convergente ni siquiera en el $p$ -adics: para no prime $p$ son los términos de las sumas parciales tendentes a $p$ -adicalmente a $0$ .