Series con múltiples variables, convergencia.

Question

Sea $D$ sea la región en la $xy$ -plano en el que la serie $$\sum_{k=1}^{\infty} {{{(x+2y)}^k}\over{k}}$$

converge. Entonces, ¿qué tipo de región es el interior de $D$ ?

Mi instinto me dice que utilice la técnica de "encontrar el radio de convergencia" del cálculo para resolver este problema, pero tiene ambas cosas $x$ y $y$ y no estoy muy seguro de lo que tengo.

Tengo $$\lim_{k\to \infty} \left|{k(x+2y) \over k}\right| = |(x+2y)|<1$$

¿Qué tipo de región es ésta?

Quiero decir que son dos líneas paralelas, pero no sé si lo estoy haciendo bien.

Answer 1

Tiene razón en que en realidad se le hacen dos preguntas: una sobre $\sum z^n/n$ (la serie logarítmica de hecho) y otra sobre lo que la región $ |x+2y|<1$ parece. También tienes razón en que el límite es un par de líneas paralelas.

Para verlo, escriba de forma más concreta $-1<x+2y<1$ . Su región es la franja rectangular infinita contenida por las líneas $x+2y=\pm 1$ .