¿Capta un motivo todo sobre una variedad algebraica?

Question

Es el functor de la categoría de variedades proyectivas sobre un campo $k$ a la categoría de motivos puros sobre $k$ ¿Fiel? (Tal vez no esté lleno).

Lo mismo digo:

Es el functor de la categoría de afín variedades sobre un campo $k$ a la categoría de motivos mixtos sobre $k$ ¿Fiel? (Tal vez no esté lleno).

Answer 1

En primer lugar, yo no equipararía "captura todo" con "functor fiel". El functor de grupos a conjuntos que olvida la estructura de multiplicación es fiel, pero yo no diría que saber que un grupo tiene 512 elementos lo dice todo sobre él.

Un ejemplo de variedades no isomorfas con motivos isomorfos: Consideremos $\mathbb{P}^2$ volado en $5$ puntos. Volar cuatro puntos (en posición general) rigidiza el $\mathbb{P}^2$ . Existe entonces un espacio bidimensional de módulos para donde se elige el quinto punto. Todas estas superficies no isomorfas tienen motivos isomorfos.

Un ejemplo de que el functor a motivos no es fiel: El grupo de automorfismo de $\mathbb{P}^1$ es $PGL_2$ . Todos estos automorfismos no triviales actúan trivialmente sobre el motivo.

Answer 2

¿Qué relación de equivalencia utiliza para definir los motivos?

La más fina que la gente considera normalmente es la equivalencia racional, en cuyo caso dos morfismos cuyos grafos son racionalmente equivalentes (es decir, a grandes rasgos, dos morfismos que pueden deformarse el uno en el otro mediante una familia parametrizada por $\mathbb P^1$ ) dará el mismo morfismo.

Un ejemplo trivial, pero concreto: todos los morfismos constantes de cualquier variedad a $\mathbb P^1$ se identificarán en la categoría de motivos.

Si se utiliza una relación más gruesa (equivalencia homológica o equivalencia numérica, que son conjeturalmente lo mismo, y conducen a lo que se denomina Motivos de Grothendieck ) que se identificarán aún más morfismos de variedades en la categoría de motivos.

Por cierto, estos functores no son ciertamente completos, ya que se toma un cierre de Karoubian como parte de la construcción de la categoría de motivos, y además se invierte el motivo de Lefschetz.

Answer 3

Distintas variedades con la misma función zeta proporcionarían probablemente (y quizá de forma demostrable en el caso de variedades sobre un campo finito) ejemplos de no fidelidad sobre objetos. Las zetas se definen sin referencia directa a motivos o "estructuras motivacionales" en cohomología.

Answer 4

Si se trabaja con motivos de Grothendieck módulo equivalencia racional, se tienen incluso ejemplos más sencillos : el motivo de cualquier cuádrica partida (proyectiva) de dimensión impar $n$ es el mismo que el motivo de $\mathbb{P}^n$ .