Demuestre que $X$ es independiente de $\mathcal{G}$ .

Question

Sea $X$ sea una variable aleatoria y $\mathcal{G}$ una sigma-álgebra. Me piden que demuestre que $X$ es independiente de $\mathcal{G}$ sólo si

$E(g(X)|\mathcal{G}) = E(g(X))$ ,

para todas las funciones borelianas $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $E(|g(X)|)< \infty$ .

La definición que estoy usando para la independencia de X con respecto a $\mathcal{G}$ es que $X$ y $I_{G}$ son independientes para todos $G \in \mathcal{G}$ .

Pude demostrar la primera parte, mostrando que la independencia implica la igualdad deseada. Sin embargo, estoy atascado tratando de demostrar lo contrario.

A mí me parece razonable que baste con empezar por $g(x) =x$ . Para mí tiene sentido que si $E(X|\mathcal{G}) = E(X)$ entonces $X$ y $\mathcal{G}$ son independientes. Pero no estoy seguro de esta afirmación. De todos modos, traté de explotar el hecho, con el fin de demostrar el resultado en la otra dirección, puedo utilizar cualquier borelian $g$ pero no tuve éxito.

¿Alguna idea? ¿Sugerencias? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Por definición de expectativa condicional, la igualdad $$\mathbb E\left[\mathbb E\left[g(X)\mid\mathcal G\right]\mathbf 1_A\right] =\mathbb E\left[ g(X)\mathbf 1_A\right] $$ es válida para cualquier $A\in\mathcal G$ y cualquier función medible $g\colon\mathbb R$ tal que $\mathbb E\left|g(X)\right|$ es finito. Usando la suposición, derivamos que $$\mathbb E\left[ g(X)\mathbf 1_A\right]=\mathbb E\left[g(X)\right]\mathbb P\left(A \right).$$ Ahora, para un conjunto de Borel $B$ Elige $g(x)=1$ si $x\in B$ y $0$ de lo contrario.