Empecemos con la ecuación larga de Weierstrass para una curva elíptica sobre un campo $K$ : $$ y^2+a_1xy+a_3y = x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$$
Si la característica del $K$ no es 2 entonces podemos hacer la sustitución $y_1=\dfrac{a_1}{2}(y-a_1x-a_3)$ lo que nos lleva a una ecuación media:
$$y_1^2 = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x+b_6$$
Si la característica no es 3 entonces podemos hacer otra sustitución $x_1=\dfrac{1}{36}(x-3b_2), y_2=\dfrac{y_1}{108}$ para obtener una ecuación corta:
$$y^2=x^3-27c_4x-54c_6$$
Sin embargo, si la característica de $K$ es igual a $2$ o $3$ entonces no podemos hacer esto, pero en su lugar puede demostrar que se puede reducir a una de las cuatro formas en su enlace.
Supongamos que la característica es $3$ . Entonces podemos eliminar el $a_1$ y $a_3$ como arriba para llegar a una forma media. (Obsérvese que podemos tomar $y=2y'$ y dividir por $4$ para eliminar el coeficiente delante de $x^3$ . Ahora bien $b_2=0$ (ocurre si y sólo si la j-invariante es $0$ ) entonces estamos en el caso supersingular así que hemos terminado.
De lo contrario, tome $x=x'+\dfrac{2b_4}{b_2}$ para conseguir algo en el caso normal.
Supongamos ahora que la característica es $2$ y empezamos con la ecuación larga. Si $a_1=0$ (si la j-invariante es 0 entonces estamos en el caso supersingular otra vez), entonces toma $x=x'+a_2$ .
De lo contrario, tome $x=a_1^2x'+\dfrac{a_3}{a_1}$ y $y=a_1^3y' + \dfrac{a_1^2a_4+a_3^2}{a_1^3}$ para conseguir algo en el caso normal.
