Consejos para resolver $y'=\frac{y}{3x-y^2}$

Question

$$y'=\frac{y}{3x-y^2}$$

Mi intento:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{3x-y^2}$$

$$dy\cdot(3x-y^2)=dx\cdot y$$

$$dy\cdot3x-dy\cdot y^2=dx\cdot y$$

¿Alguna indicación?

Necesito pistas por favor $\color{red}{not}$ una respuesta completa

Answer 1

Yo lo escribiría como $$ \dfrac{dx}{dy} = \frac{3x-y^2}{y} = 3\frac{x}{y} -y $$ Tal vez

Answer 2

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{3x-y^2}$$

$$\frac{dx}{dy}=\frac{3x-y^2}{y}$$

$$\frac{dx}{dy}-\frac{3x}{y}=-y$$ que es lineal en $x$

Answer 3

Siguiendo la pista dada por Chinny84, escribimos la ecuación como $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{3x-y^2}{y} = \frac{3x}{y} -y$$

Así que $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} - \frac{3x}{y} = -y$$ que es una ecuación diferencial lineal de primer orden en $x$ .

Spoiler: Respuesta a continuación.

Utilizar un factor integrador $$I = \exp\left({\int \frac{-3}{y}}\, \mathrm{d}y \right) = \frac{1}{y^3}.$$ Tenemos que $$\frac{x}{y^3}= \int \frac{1}{y^3}\cdot-y \, \mathrm{d}y = \frac{1}{y} + \mathrm{c}.$$ Multiplicar por $y^3$ produce $$x = \mathrm{c}y^3 + y^2$$